自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	钱逸凡 **

搬运于2025-08-24 22:05:22，当前版本为作者最后更新于2018-07-06 13:08:21，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

自动搬运只会搬运当前题目点赞数最高的题解，您可前往洛谷题解查看更多

以下是正文

---

DLX又称dancing links X 是一种

解决重复覆盖和精确覆盖的高效算法

精确覆盖的定义：

一个全集S有若干个子集S1，S2，……Sn，选取其中若干个子集，使得这些集合中出现了S中每个元素各一次。

这么说可能有点抽象（我知道我语文不好），举个例子：

全集S=｛1，2，3，4，5，6，7｝， 用子集S1=｛1，2，3｝，S2=｛3，4，5，7｝，S3=｛4，5，6，7｝，S4=｛1，5，6，7｝，S5={4,5}精确覆盖，结果显然是选取S1和S3。

主要思想：

把全集中的每个元素对应成一个矩阵中的列，把每个子集对应成一个行 对于矩阵中一点（i，j）若集合Si包含元素j则改点为1，否则为0。

我表达能力确实不行，将就看吧，实在不行就看图吧。（蒟蒻不会绘图软件，只好手敲了）

还是刚才的例子，矩阵表示为：

 S | 1  |2  |3  |4  |5  |6  |7
S1 | 1  |1  |1  |0  |0  |0  |0
S2 | 0  |0  |1  |1  |1  |0  |1
S3 | 0  |0  |0  |1  |1  |1  |1
S4 | 1  |0  |0  |0  |1  |1  |1
S5 | 0  |0  |0  |1  |1  |0  |0

接下来是核心操作： 先选取一个集合（一行），把该行和该行上有点的列和包含这些列的行删除（还是看图吧……），比如说我们选了第1行：

 S | 4  |5  |6  |7
S3 | 1  |1  |1  |1
S5 | 1  |1  |0  |0

为什么是这样呢？首先我们要知道当我们把矩阵删完后就完成了精确覆盖，我们选了第一行所以第一行中的元素对应的列就删完了，而包含了这些元素的行肯定是不能选的，所以我们把它们也删了。

接下来如果我们选择了S3，显然矩阵为空，我们找到了一组解，但若我们选择了S5则矩阵变为：

 S | 6  |7

矩阵未覆盖完但已经无集合可用，覆盖失败，于是要回溯，于是矩阵又为：

 S | 4  |5  |6  |7
S3 | 1  |1  |1  |1
S5 | 1  |1  |0  |0

大致是这样一个过程，具体怎么操作就看代码：

代码实现：

首先要知道我们需要的数组和对应的含义：

int n,m,cnt;//矩阵的长，宽，点的数量
	int l[mx],r[mx],u[mx],d[mx],row[mx],col[mx];//每个点的左，右，上下，行，列信息
	int h[mx];//每行的头结点
	int s[mx];//每列的结点数
	int ans,ansk[mx];//需要ans个子集，分别为ansk[]

dancing links 的原理是十字链表的删除和恢复很方便，利用十字链表来储存我们需要的信息。

1. 第一步 ：建立空的矩阵：

void init(int _n,int _m) {
		n=_n,m=_m;
		int i;
		for(i=0; i<=m; i++) {
			r[i]=i+1;
			l[i]=i-1;
			u[i]=d[i]=i;
		}
		r[m]=0;//m右边是0
		l[0]=m;//0左边是m
		memset(h,-1,sizeof(h));
		memset(s,0,sizeof(s));
		cnt=m+1;//开始时有m个结点（0结点和各列头结点）
	}//初始化，生成每列的头

1. 第二步：在r行c列插入点

inline void link(int R,int C) {
		s[C]++;
		row[cnt]=R;
		col[cnt]=C;
		u[cnt]=C;
		d[cnt]=d[C];
		u[d[C]]=cnt;
		d[C]=cnt;//十字链表原理
		if(h[R]<0)h[R]=r[cnt]=l[cnt]=cnt;//该行没有别的点,把第一个加入的点作为该行的行头结点
		else {
			r[cnt]=h[R];
			l[cnt]=l[h[R]];
			r[l[h[R]]]=cnt;
			l[h[R]]=cnt;
		}
		cnt++;
	}

1. 第三步：删除与恢复：

inline void remove(int c) {
		r[l[c]]=r[c],l[r[c]]=l[c];
		for(int i=d[c]; i!=c; i=d[i]) {
			for(int j=r[i]; j!=i; j=r[j]) {
				u[d[j]]=u[j];
				d[u[j]]=d[j];
				s[col[j]]--;
			}
		}
	}//删除c列和c列上有点的行
	inline void resume(int c) {
		for(int i=u[c]; i!=c; i=u[i]) {
			for(int j=l[i]; j!=i; j=l[j]) {
				u[d[j]]=j;
				d[u[j]]=j;//十字链表的恢复原理，可以自己画图验证。
				s[col[j]]++;
			}
		}
		r[l[c]]=c;
		l[r[c]]=c;
	}//恢复c列和c列上有点的行，恢复与删除很像

1. 第四步：核心dance：

bool dance(int deep) {
		if(r[0]==0) { //矩阵已经删除完
		ans=deep;
        //如果要求输出具体的解，可在此处操作（把ansk转换换回对应的集合信息）
        return 1;//多解问题去掉这行
		}
		int c=r[0];
		for(int i=r[0];i!=0;i=r[i])if(s[i]<s[c])c=i;//找到点最少的列
		remove(c);
		for(int i=d[c];i!=c;i=d[i]){
			ansk[deep]=row[i];
			for(int j=r[i];j!=i;j=r[j]) remove(col[j]);
			if(dance(deep+1)==1)return 1;
			for(int j=l[i];j!=i;j=l[j]) resume(col[j]);
		}
		resume(c); 
		return 0;
	}

推荐几道精确覆盖的题： 八皇后 靶形数独

注意没有精确覆盖的模版题，要自己转换，把一些条件转换成对应的集合。

没有思路的看看题解八皇后题解（中文不好看完别吐） 。靶形数独已经有大佬写的题解了，我就不再献丑了，有需要可以看一下我的代码靶形数独代码

差点忘了，还有重复覆盖。

重复覆盖定义：

顾名思意，与精确覆盖差不多，只是可以有元素重复

主要思想：同上（精确覆盖）

代码实现：

删除和恢复略有不同

inline void del(int c){
    for(int i=d[c];i!=c;i=d[i]){
    l[r[i]]=l[i],r[l[i]]=r[i];	
    }
    }//删除c列 
    inline void res(int c){
        for(int i=u[c];i!=c;i=u[i]){
            l[r[i]]=i,r[l[i]]=i;
        }
    }//恢复c列 

dance 部分多了一个剪枝,因为重复覆盖比精确覆盖慢。

inline int leave(){
        int ans=0;
        bool vis[m];
        register int i,j,k;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(i=r[0];i!=0;i=r[i]){
            if(vis[i]==0){
                vis[i]=1;
                ans++;
                for(j=d[i];j!=i;j=d[j]){
                    for(k=r[j];k!=j;k=r[k])
                    vis[col[k]]=1;
                }
            }
        }
        return ans;
    }//最优情况还要多少个集合
    void dance(int deep){
    //注意：这个剪枝只有在多解情况求最优解时下才用
        if(deep+leave()>=out)return;//剪枝 
        if(r[0]==0){
            out=deep;
            return;
        }
        int c=r[0];
        register int i,j;
        for(i=r[0];i!=0;i=r[i])if(s[i]<s[c])c=i;//找到点最少的列
        for(i=d[c];i!=c;i=d[i]){
            del(i);
            for(j=r[i];j!=i;j=r[j])del(j);
            dance(deep+1);
            for(j=l[i];j!=i;j=l[j])res(j);
            res(i);
        }
        return;
    }//可以看出重复覆盖的效率并不算太高，与深搜差不多，甚至如果深搜剪枝剪得好比dancing links快，谨慎使用

洛谷上没找到重复覆盖的题，推荐一道：神龙的难题。

想做的自己去百度

万分感谢你们忍着看完了这么烂的语文水平写的文章

祝各位NOIP满分

行行好给个赞吧

再附上次模板题的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mx=250501;//n*m+m<=250500
inline int Read(){
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x;
}
int n,m;
int cnt;
int l[mx],r[mx],u[mx],d[mx],col[mx],row[mx];//每个点的左右上下指针，所在行列 
int h[mx];//每行的头结点 
int s[mx];//每列的节点数 
int ansk[mx];//选了那些集合 
void init(int m){//m个元素 
	for(register int i=0;i<=m;i++){
		r[i]=i+1;
		l[i]=i-1;
		u[i]=d[i]=i;
	}
	r[m]=0;
	l[0]=m;
	memset(h,-1,sizeof(h));
	memset(s,0,sizeof(s));
	cnt=m+1;
}//初始化 
inline void link(int R,int C){//R行C列插入点 
	s[C]++;
	row[cnt]=R;
	col[cnt]=C;
	u[cnt]=C;
	d[cnt]=d[C];
	u[d[C]]=cnt;
	d[C]=cnt;
	if(h[R]==-1)h[R]=r[cnt]=l[cnt]=cnt;//该行没有点，直接加入 
	else{
		r[cnt]=h[R];
		l[cnt]=l[h[R]];
		r[l[h[R]]]=cnt;
		l[h[R]]=cnt;
	}
	cnt++;
	return;
}
inline void remove(int C){//删除涉及C列的集合 
	r[l[C]]=r[C],l[r[C]]=l[C];
	for(int i=d[C];i!=C;i=d[i]){
		for(int j=r[i];j!=i;j=r[j]){
			u[d[j]]=u[j];
			d[u[j]]=d[j];
			s[col[j]]--;
		}
	}
}
inline void resume(int C){//恢复涉及C列的集合 
	for(int i=u[C];i!=C;i=u[i]){
		for(int j=l[i];j!=i;j=l[j]){
			u[d[j]]=j;
			d[u[j]]=j;
			s[col[j]]++;
		}
	}
	r[l[C]]=C;
	l[r[C]]=C;
}
bool dance(int deep){
	if(r[0]==0){
		register int i=0;
		for(i=0;i<deep;i++)printf("%d ",ansk[i]);
		return 1;
	}
	int c=r[0];
	int i,j;
	for(i=r[0];i!=0;i=r[i])if(s[i]<s[c])c=i;
	remove(c);
	for(i=d[c];i!=c;i=d[i]){
		ansk[deep]=row[i];
		for(j=r[i];j!=i;j=r[j])remove(col[j]);
		if(dance(deep+1))return 1;
		for(j=l[i];j!=i;j=l[j])resume(col[j]);
	}
	resume(c);
	return 0;
}
int main(){
//	freopen("cin.txt","r",stdin);
	n=Read(),m=Read();
	register int i,j;
	int f;
	init(m);
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=m;j++){
			f=Read();
			if(f)link(i,j);
		}
	}
	if(!dance(0))printf("No Solution!");
	return 0;
}