自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	hongzy **

搬运于2025-08-24 21:51:11，当前版本为作者最后更新于2018-12-27 18:50:52，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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首先，这题答案与切的顺序无关

证明很好证，考虑将一块$abc$分为$a,b,c$三块

方法一：先分成$a,bc$。答案为$a (b + c) + bc = ab + ac + bc$

方法二：先分成$ab,c$。答案为$c (a + b) + ab = ab + ac + bc$

答案相同。

然后考虑$dp$方程：若$s[x]=\sum_{i=1}^x a[i]$，令$f[i][j]$表示前$i$个数分$j$次的最大得分

$f[i][j]=min_{0\leq l<i}(f[l][j - 1] + s[l] * (s[i] - s[l]))$

需要滚动数组存，以下用$f[i]$表示$f[i][j-1]$（前驱状态）

然后考虑当$i$选$j$转移优于$l$时：（以下默认$j < l$）

$$f[j] + s[j]s[i] - s[j]^2 > f[l] + s[l]s[i] - s[l]^2 $$$$f[j] - s[j]^2 - (f[l] - s[l]^2) > (s[l]- s[j])s[i] $$$$\frac{f[j] - s[j]^2 - (f[l] - s[l]^2)}{- s[j] -(-s[l])} > s[i] $$

把每个点看做$P_i(-s[i],f[i]-s[i]^2)$，那么单调队列维护一个点集，斜率递增

这些点形成了一个在第三象限的下凸包

操作：

队头更新：若$slope(q[head], q[head + 1]) \leq s[i]$则出队（显然）

队尾更新：若$slope(q[back - 1], q[back]) \geq slope(q[back], i)$则出队

队尾操作的证明（也就是对凸包的证明）：

考虑$q[back]$可不可能做队头。若满足刚刚上方的条件，则：

若$slope(q[back],q[back-1]) \leq s[i]$使得$q[back]$成了队首

这时候当前的$slope$比刚刚的还要小，因此将继续出队，$q[back]$无法做队头。

斜率递增，故是一个凸包

还有一个细节：注意可能会出现$a[i]=0$，导致存在$s[i] = s[j]$，因此计算斜率应注意横坐标相同的情况，斜率为$-\infty$.

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;

int n, k, fa[205][N];
LL s[N], f[N], g[N];

double slope(int a, int b) {
	LL x1 = - s[a], y1 = g[a] - s[a] * s[a];
	LL x2 = - s[b], y2 = g[b] - s[b] * s[b];
	if(x1 == x2) return -1e18;
	return (y2 - y1) / (double) (x2 - x1);
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		scanf("%lld", s + i);
		s[i] += s[i - 1];
	}
	static int q[N], hd, bk;
	for(int t = 1; t <= k; t ++) {
		for(int i = 1; i <= n; i ++) g[i] = f[i]; 
		hd = bk = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i ++) {
			for(; bk - hd >= 2 && slope(q[hd], q[hd + 1]) <= s[i]; hd ++) ;
			f[i] = 0;
			if(hd < bk) {
				int & j = q[hd]; fa[t][i] = j;
				f[i] = g[j] + s[j] * (s[i] - s[j]);
			}
			for(; bk - hd >= 2 && slope(q[bk - 1], q[bk - 2]) >= slope(i, q[bk - 1]); bk --) ;
			q[bk ++] = i;
		}
	}
	printf("%lld\n", f[n]);
	for(int x = fa[k][n]; k; x = fa[-- k][x])
		printf("%d ", x);
	return 0;
}

upd: 感谢@chennengkuan 指出定义的小错误