自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	ButterflyDew life is hard

搬运于2025-08-24 21:23:24，当前版本为作者最后更新于2018-07-27 12:24:35，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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我确信洛谷和网上的题解大部分都是错的，少部分是对的的也并没有说清楚。

比如说这个题极限的思想，我没有看到一个提出来的。

首先得明白一点，当已经买到所有的名字以后，是不需要再买的。针对于子问题也这样想。

从两个方面分别具体说说这个题目。

欢迎来博客阅读~

一、对每一步暴力极限求解。

令$f[i]$表示已经买到$i$个球星的期望购买次数。

我们由$f[i]$推$f[i+1]$

下一次购买可以买到不同球星的概率是$\frac{n-i}{n}$

下两次购买可以买到不同球星的概率是$\frac{i}{n} \times \frac{n-i}{n}$ 注意到这时第一次买到的情况已经忽略了

...

下$k$次购买可以买到不同球星的概率是$(\frac{i}{n})^{k-1} \times \frac{n-i}{n}$

假设第$k$次就是正无穷次

则此步的期望即为

$E=1 \times \frac{n-i}{n}+2 \times \frac{i}{n} \times \frac{n-i}{n}+3 \times (\frac{i}{n})^2 \times \frac{n-i}{n}+...+k \times (\frac{i}{n})^{k-1} \times \frac{n-i}{n}$

则有

$\frac{i}{n} \times E=1 \times \frac{i}{n} \times \frac{n-i}{n}+2 \times (\frac{i}{n})^2 \times \frac{n-i}{n}+3 \times (\frac{i}{n})^3 \times \frac{n-i}{n}+...+k \times (\frac{i}{n})^k \times \frac{n-i}{n}$

错位相减

$E\approx 1+\frac{i}{n}+(\frac{i}{n})^2+...(\frac{i}{n})^{k-1}$

此步中采用极限的思想丢了一些$0$的项,用“$\approx$”表示采用极限思想，实际上极限是准确值，不需要“$\approx$”，此处只是为了标示，下同。

由等比数列公式

$E=1+\frac{\frac{i}{n}-(\frac{i}{n})^k}{\frac{n-i}{n}}$

$\approx \frac{n}{n-i}$

所以我们得出

$f[i+1]=f[i]+\frac{n}{n-i}$

则

$f[n]=n \times (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})$

二、神奇的自己推自己的方法

同样令$f[i]$表示已经买到$i$个球星的期望购买次数。

如果从上一个推过来，为

$f[i]+=(f[i-1]+1)\times \frac{n-(i-1)}{n}$

如果从当前推过来，为

$f[i]+=(f[i]+1)\times \frac{i}{n}$

发现概率之和并不等于1，也就是说，这样写是有问题的。

从上一个推过来肯定没问题，我们考虑从当前推当前的意义。

“买了一个，买的是自己有的的概率”

然而我们考虑最开始说的一句话

“当已经买到所有的名字以后，是不需要再买的。”

也就是说，我们这样写可能把自己买了很多遍，而事实上是并不需要再买的。

于是我们修改一下意义

为“买了一个，买的是自己有的且不是自己的概率”

则推过来就是

$f[i]+=(f[i]+1)\times \frac{i-1}{n}$

那我们这个什么时候买呢？

极限的思想，在最后买时，对期望的影响是微乎其微的

把这两项加起来并化简

就得到了

$f[i]=f[i-1]+\frac{n}{n-i+1}$

和上一个方法的结果是一样的

关于合并两个值并不是一样的$f[i]$，用的也是极限的思想