自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	Iniaugoty 我一定会进盐中校队！！！！！11111

搬运于2025-08-24 22:53:07，当前版本为作者最后更新于2023-12-16 22:20:27，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

感觉挺诈骗的一道题。

你发现答案可能极大，但是南夫拉斯又不大可能出高精度。

于是你猜想这个 $10 ^ {10 ^ 5}$ 可能是假的，或者所有 $f _ k (i)$ 都相同或类似，使得答案是一个可以处理的数后面跟上一串 $0$。

于是你手模了一下 $0 \sim 20$ 和几个大数。

于是你发现迭代数次之后他们都得到了 $213$。

于是你猜想所有 $f _ k (i)$ 都是 $213$。

于是你写了一份代码，输出了 $213$ 和 $n$ 个 $0$。

于是你获得了 $0$ 分。

于是你继续观察，发现当 $k = 1$ 时（$n$ 只能为 $0$）答案是 $11$，似乎只有这个不符合你的猜想。

于是你加了一个特判。

于是你通过了。

上面是我乱搞过题的过程，接下来我将给出解释。

当 $0 \le n < 10 ^ 9$，显然 $\vert g(n') \vert = 3$。

当 $10 ^ 9 \le n < 10 ^ {16}$，显然 $\vert g(n') \vert \le 6$，那么 $\vert g(g(n')) \vert = 3$。

当 $10 ^ {16} \le n < 10 ^ {10 ^ 5}$，显然 $\vert g(n') \vert \le 16$，那么 $\vert g(g(n')) \vert \le 6$，进而 $\vert g(g(g(n'))) \vert = 3$。

如果 $\vert g(x) \vert = 3$，$g(x)$ 一定可以通过迭代得到 $213$。对 $g$ 每一位的奇偶性分类讨论（因为前两位之和是第三位，所以只有两种情况）：

• 奇偶奇/偶奇奇/奇奇偶：显然迭代 $1$ 次就是 $213$ 了。

• 偶偶偶：迭代 $1$ 次是 $033$，再 $1$ 次就是 $213$。

对于 $n = 0$，需要迭代 $2$ 次达到 $213$，所以 $k = 1$ 时答案为 $11$，否则 $213$。

对于 $0 < n < 10$，由于迭代 $1$ 次之后最后一位必为奇数，符合第一种情况，只需再迭代 $1$ 次。而由题意这一部分一定有 $k \ge 2$，所以一定是 $213$。

对于 $10 \le n < 10 ^ 9$，需迭代至多 $3$ 次，而这里有 $k \ge 3$，必为 $213$。

对于 $10 ^ 9 \le n < 10 ^ {16}$，需迭代至多 $4$ 次，而这里有 $k \ge 10$，必为 $213$。

对于 $10 ^ {16} \le n \le 10 ^ {10 ^ 5}$，需迭代至多 $5$ 次，而这里有 $k \ge 17$，必为 $213$。

综上，$k = 1$ 时答案为 $11$，否则为 $213 \times 10 ^ n$。

代码很简单，不贴了。