自动搬运

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搬运于2025-08-24 22:44:59，当前版本为作者最后更新于2023-02-14 21:59:16，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

$\text{Link}$

题意

有 $n$ 个序列 $a_{1\dots n}$，有一个常数 $A$，初始时每个序列中有一个 $A+1$。对于序列 $s$，定义 $f(s)$ 表示最小的满足 $\prod_{i=1}^ks_i>A$ 的 $k$。有 $q$ 次操作，有两种操作：

1. 对 $i\in[l,r]$，在序列 $a_i$ 前端加入一个数 $v$；
2. 查询 $\sum_{i=l}^rf(a_i)$。

对每个 $2$ 操作输出答案。

$n,q\le 5\times10^5$，$1\le v,A\le10^9$。

思路

区间查询差分成 $l-1,r$ 两处的前缀查询。

考虑一个非常神秘的扫描线，对于第 $t$ 个操作（记作时刻 $t$ 的操作），如果是修改，在 $l_t$ 处插入 $(t,v_t)$，$r_t+1$ 处删除 $(t,v_t)$，并支持动态查询 $t$ 时刻的，当前前缀的答案。

考虑设扫到 $i$，现在集合内所有点对按 $t$ 排序，就是 $a_i$ 最终的形态（反过来），对于 $a_i$，$t_0$ 时刻的答案就是找到 $t_0$ 在集合中的前驱 $t_1$，往前连乘多少个会大于 $A$，记作 $f_{t_1}$。记 $pr_t,nx_t$ 分别表示存在于集合内的 $t$ 的前驱与后继，则 $[t,nx_t-1]$ 之间的答案都是 $f_t$。

考虑涉及乘法，我们会想到把 $v=1$ 和 $v\ne 1$ 分开计算。我们对每个 $v\ne 1$ 的 $(t,v_t)$ 维护 $(pr_t,v_{pr_t})$ 之间有多少个 $1$，记为 $c_t$。注意到最后被插入的若干个 $1$ 是没有算入的，这个在开头写一个区间加一，区间推平为零，区间求和的线段树 $T_1$ 即可。

现在集合里只维护了 $v\ne 1$ 的操作，可以发现，只用乘 $O(\log A)$ 个数就会超过 $A$，把这些乘到的结点的 $c+1$ 加起来就是此处的 $f$。

我们需要维护一个答案序列 $b$，$b_t$ 为当前前缀在时刻 $t$ 的答案总和。对集合里每个结点也维护 $s_t$ 表示对答案序列区间 $[t,nx_t-1]$ 还有 $s_t$ 的贡献没计入。查询时找到查询时刻 $t$ 的前驱，取出其 $s$ 值并加上 $b_t$ 即为所求。

我们不能对每个序列 $a_i$ 都遍历整个集合并将 $f_t$ 加入 $s_t$ 中。对于一些 $f$ 没有改变的结点，我们记录上一次加入答案的时刻 $tim_t$（指最后在扫到 $a_{tim_t}$ 这个序列时加入过），注意到 $f$ 不变，则在序列 $a_i$ 更新 $f$ 值的时候需要把 $s_t$ 增大 $(i-tim_t)f_t$，更新 $tim_t=i$。

在 $nx_t$ 发生改变时，我们需要把 $s_t$ 贡献到答案序列中，即将区间 $[t,nx_t-1]$ 加 $s_t$，将 $s_t$ 置零，需要支持的是单点查询，维护区间加单点求值的树状数组 $T_2$ 即可。

考虑把 $(t,v_t)$ 插入到 $(l,v_l)$ 和 $(r,v_r)$ 之间。我们需要先把 $s_l$ 贡献到答案序列中，更新 $l,t,r$ 的 $pr,nx$，还要更新 $c_t,c_r$，这需要查询 $[l+1,t-1]$ 间的 $1$ 的个数，写个单点加区间求和树状数组 $T_3$ 即可。

考虑删除 $(t,v_t)$，设 $l=pr_t,r=nx_t$，我们先把 $s_l,s_t$ 贡献到答案序列中，改变 $l,r$ 的 $pr,nx$，把 $c_r$ 加上 $c_t$ 即可。

所述集合可以用平衡树（set）简单维护，其实是维护了一个支持随机插入的链表。

时间复杂度是 $O(n+m(\log n+\log m+\log A))$。

需要代码的还是私信吧。

再见 qwq~