自动搬运

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搬运于2025-08-24 22:30:32，当前版本为作者最后更新于2021-04-20 09:40:54，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

提供一个 $O(nk\log p)$ 的做法。

显然 dp，用三维分别表示当前位置，当前连续段数，当前是否为 $1$。开一个数组表示期望乘上概率，再开一个表示概率。

代码中分别叫 dp 和 qwq。

对于一个状态，我们发现它最多由两个先前状态推出来。

我们算出这个状态的概率以及由每个状态转移过来的概率。

这样就可以算了。

具体的 dp 式子见代码。

代码在下面。由于中间的 Mod 写的很丑，就扔 这里.

#include <stdio.h>
inline int read()
{
	int num=0;char c=getchar();
	while(c<48||c>57)c=getchar();
	while(c>47&&c<58)num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
	return num;
}
#define int long long
const int mod = 998244353;
int qp(int x,int p)
{
	int res=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		p>>=1;
	}
	return res;
}
struct Mod{...};
Mod a[100005],p[100005],dp[100005][20][2],qwq[100005][20][2];
signed main()
{
	int n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=read();
    //memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
    qwq[0][0][0]=1;
    Mod unit=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int k=0;k<=m;k++)
        {
            if(k==0)
            {
                qwq[i][k][0]=qwq[i-1][k][0]*(mod+1-p[i].x);
                goto hidsa;
            }
            if(k+k-1>i)continue;
            else if(k+k-1==i)
            {
                qwq[i][k][1]=qwq[i-1][k-1][0]*p[i];
                //dp[i][k][1]=qwq[i][k][1]*a[i]+dp[i-1][k-1][0];
                dp[i][k][1]=a[i]+dp[i-1][k-1][0];
            }
            else
            {
                qwq[i][k][1]=qwq[i-1][k-1][0]*p[i]+qwq[i-1][k][1]*p[i];
                Mod wqw=qwq[i-1][k-1][0]+qwq[i-1][k][1];
                wqw=unit/wqw;
                dp[i][k][1]=a[i];//dp[i-1][k-1][0]*qwq[i-1][k-1][0]
                dp[i][k][1]+=dp[i-1][k-1][0]*qwq[i-1][k-1][0]*wqw;
                dp[i][k][1]+=dp[i-1][k][1]*qwq[i-1][k][1]*wqw;
                //dp[i][k][1]=qwq[i][k][1]*a[i]+dp[i-1][k-1][0]+dp[i-1][k][1];
                qwq[i][k][0]=(qwq[i-1][k][0]+qwq[i-1][k][1])*(mod+1-p[i].x);
                //dp[i][k][0]=qwq[i][k][0]*(dp[i-1][k][0]+dp[i-1][k][1]);
                wqw=qwq[i-1][k][0]+qwq[i-1][k][1];
                wqw=unit/wqw;
                dp[i][k][0]=dp[i-1][k][0]*qwq[i-1][k][0]*wqw;
                dp[i][k][0]+=dp[i-1][k][1]*qwq[i-1][k][1]*wqw;
            }
            
        /*    if(k*2-1>i)continue;
            if(k*2-1!=i){
            dp[i][k][0]+=dp[i-1][k][1]*(mod-p[i].x+1);
            dp[i][k][0]+=dp[i-1][k][0]*(mod-p[i].x+1);}
            //dp[i][k][1]=p[i]*a[i];
            dp[i][k][1]+=(a[i]+dp[i-1][k-1][0]+dp[i-1][k][1])*p[i];*/
            hidsa:;/*
            printf("dp[ %lld %lld %lld] = %lld\n",i,k,0ll,dp[i][k][0].x);
            printf("dp[ %lld %lld %lld] = %lld\n",i,k,1ll,dp[i][k][1].x);
            printf("qwq[ %lld %lld %lld] = %lld\n",i,k,0ll,qwq[i][k][0].x);
            printf("qwq[ %lld %lld %lld] = %lld\n",i,k,1ll,qwq[i][k][1].x);*/
        }
    }
    //printf("%lld\n",((dp[n][m][0]+dp[n][m][1])/qp(2,n)*(qp(2,n)-1)).x);
    printf("%lld\n",(dp[n][m][0]*qwq[n][m][0]+dp[n][m][1]*qwq[n][m][1]).x);
}
/*
2 1
3 5
0 1
*/