自动搬运

查看原文

来自洛谷，原作者为

	DeaphetS 什么时候才能回归绿名啊

搬运于2025-08-24 22:30:05，当前版本为作者最后更新于2022-07-20 18:36:12，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

自动搬运只会搬运当前题目点赞数最高的题解，您可前往洛谷题解查看更多

以下是正文

---

吃了语文不好的亏啊...

首先令 $T_f=0$，让 $T_d$ 平移到原先 $T_d-T_f$ 的时刻，这样可以方便我们后续的计算。接着考虑二分，因为我们懒得去想狗具体怎么蛇皮走位，所以为了省事可以二分答案来判断狗是否能够在指定位置接到盘子。假设狗接到盘子时的位置是 $(x,y)$，那么根据平抛运动的公式可以得出：

$$\begin{cases} V_f\cdot t=x\\ \frac{1}{2}a_ft^2=H_f-y\\ a_f=1\\ \end{cases} $$

也就是说如果我们二分了狗接盘子的横坐标 $x$，就可以很快计算出对应的纵坐标 $y$ 以及时间 $t$，接着就只需要考虑如何判断狗是否能按时到达指定地点了。注意这里 $\texttt{Clarifications}$ 说的是，狗的跳跃过程是瞬间获得能够跳到 $H_d$ 高度的垂直速度，其实这还是有一点歧义的。真正的题意是：狗的跳跃过程是瞬间获得能够在未来某一时刻恰好到达 $H_d$ 高度的速度（即到达 $H_d$ 这个高度时正好垂直速度为 $0$）。也就是说不存在先到达 $(x,0)$，再原地起跳直接到达 $H_d$ 并在途中顺便接到处于 $(x,y)$ 的盘子这种情况的，也并不是说狗提前在某一时刻原地起飞到 $H_d$ 之后再自由落体的，而是在竖直方向产生一个最高点为 $H_d$ 的竖直上抛运动，本人就因为这个 $\texttt{WA}$ 了好几发。

既然不能直接原地起跳接住盘子，那这也就意味着小狗需要先提前在某个位置跳起，再依靠重力让其水平方向到达 $x$ 时恰好到达 $(x,y)$。不过这里我们不能借助公式来计算小狗起跳时的位置，而是要考虑小狗在垂直方向的位移来计算跳跃所花费的时间，因为小狗在水平方向上移动的速度是不确定的。那么设小狗起跳后到达 $y$ 这一高度所花的时间为 $t_j$，起跳时瞬间获得的竖直方向的速度为 $v_0$，就有方程：

$$\begin{cases} v_0t_j-\frac{1}{2}a_dt_j^2=y\\ a_d=3\\ \end{cases} $$

在解这个方程前我们还需要先算出 $v_0$ 的值，那么借助物理学中关于竖直上抛运动的一个公式 $H=\frac{v_0^2}{2g}$（可用动能定理证明）就能得出 $v_0=\sqrt{6H_d}$。带回到原式中解一个一元二次方程就能得到 $t_j=\frac{\sqrt{6H_d}\pm \sqrt{6H_d-6y}}{3}$，显然我们是要取更小的解。于是结合小狗要出发后才能起跳这一信息，我们得知了小狗能够到达 $(x,y)$ 的一个必要条件，那就是：

$$t-T_d\ge \frac{\sqrt{6H_d}- \sqrt{6H_d-6y}}{3}$$

除了这一条件外，我们还需要保证 $y\le H_d$ 以及 $V_d\cdot (t-T_d)\ge x$ ，这样就能完成对小狗能否到达 $(x,y)$ 的判断，这时对应的答案就是 $t+\frac{x}{V_d}$。

当然不要忘了 $\texttt{Clarifications}$ 中的另外一条：当飞盘落在地面上时瞬间停止运动。所以我们需要注意二分的区间，即飞盘落地时所处的位置 $x_R$。同样可以列出方程 $\begin{cases} V_f\cdot t=x_R\\ \frac{1}{2}a_ft^2=H_f\\ a_f=1\\ \end{cases} $ ，算出 $x_R=V_f\sqrt {2H_f}$ 就能够确定二分的右端点。最后再处理一下狗无法在空中接到盘子的情况，这一情况的答案为 $\max(\frac{x_R}{V_f},T_d+\frac{x_R}{V_d})+\frac{x_R}{V_d}$，取 $\max$ 的部分是为了比较狗到达指定地点的时间和飞盘实际落地的时间，这样就大功告成了。

注意 $\texttt{eps}$ 不要开太小，否则会因为精度问题而导致死循环。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ld double
const ld eps=1e-6;
ld tf,vf,hf,td,vd,hd,l,r,x,ans;
int main()
{
	cin>>tf>>vf>>hf>>td>>vd>>hd;
	td-=tf;
	r=vf*sqrt(2*hf);
	ans=max(r/vf,td+r/vd)+r/vd;
	while(l+eps<r){
		x=(l+r)*0.5;
		ld t=x/vf;
		ld y=hf-0.5*t*t;
		if(hd>=y && (t-td)>=max(x/vd,(sqrt(6*hd)-sqrt(6*hd-6*y))/3))
			r=x,ans=min(ans,t+x/vd);
		else l=x;
	}
	printf("%.8f\n",ans+tf);
}

其实这题还有一种直接算答案的做法，大体思路就是把之前判断部分的式子重新写出来，然后算出每个不等式对应的约束，解完方程后再判断一下就好了，就是求解的过程略微有点麻烦，感兴趣的大佬们可以自行尝试。