自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	wangyizhi 昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。

搬运于2025-08-24 22:25:00，当前版本为作者最后更新于2024-12-10 21:12:19，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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写在最前面

%%% 膜拜楼上巨佬 %%%

这篇题解的思路与楼上大佬相近，但感觉楼上大佬公式讲的不是很清楚（对 OIers 而言），于是本蒟蒻决定把公式推导一下 QwQ。

0.说明

可能的前置知识：

• 向量运算

• 三点共线定理

• 物体的平衡条件（力矩平衡）

下文中记原点为 $O$。

1.求重心

对于重心，先考虑把多边形剖成小三角形求重心，然后根据它们的质量进行合并。

1.1 求三角形重心

考虑 $\triangle ABC$，记其重心为 $G$，如何用 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ 表示 $\overrightarrow{OG}$？

记 $BC$ 中点为 $D$，则 $G$ 在线段 $AD$ 上且满足 $AG=2DG$。由于 $B$、$C$、$D$ 三点共线且 $BD=CD$，则有

$$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC} $$

又由于 $A$、$G$、$D$ 三点共线且 $AG=2DG$，则有

$$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} $$

综合两式，得

$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC} $$

1.2 求三角形质量

考虑 $\triangle ABC$，由题意得其质量可以表示为 $S_{\triangle ABC}$。由“二维向量叉积”（注：其实并没有这个概念，，，叉积其实只有三维向量有，，，）的几何意义得

$$m=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} $$

1.3 合并两个多边形时的重心变化

记要合并的第一个多边形质量为 $m_1$，重心为 $G_1$，第二个多边形质量为 $m_2$，重心为 $G_2$，合并后的重心为 $G$。

由重心的定义，当合并后以 $G$ 为参考点时，合力矩为 $0$。因此有

$$m_1\overrightarrow{GG_1}=m_2 \overrightarrow{GG_2} $$

即

$$\frac{m_2}{m_1}=\frac{\overrightarrow{GG_1}}{\overrightarrow{GG_2}} $$

由三点共线定理，又有

$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{m_1+m_2}(m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}) $$

当有多个多边形时，同理可以得出

$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{m_1+m_2+m_3+...}(m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}+m_3\overrightarrow{OG_3}+...) $$

因此我们就可以把物体的重心位置和质量求出来啦。

2.求答案

设支撑面为 $l\sim r$，重心所在横坐标为 $x_0$，起重机质量为 $m_0$，第一个点的坐标为 $(x,y)$，挂的物体的质量为 $m$。

分情况讨论：

a) $x_0>r$

• 若 $x>r$，则显然一定会倒。

• 若 $l\le x \le r$，由于需满足力矩平衡，以 $(0,r)$ 为参考点，有

$$(r-x)\times m_{min}=(x_0-r)\times m_0$$

即

$$m\ge \frac{x_0-r}{r-x}m_0$$

• 若 $x<l$，则最小值时以 $(r,0)$ 为参考点平衡，最大值时以 $(l,0)$ 为参考点平衡，因此

$$(r-x)\times m_{min}=(x_0-r)\times m_0$$ $$(l-x)\times m_{max}=(x_0-l)\times m_0$$

即

$$\frac{x_0-r}{r-x}m_0\le m \le\frac{x_0-l}{l-x}m_0$$

b) $x_0<l$

求法同 a），不再赘述。

c) $l\le x_0\le r$

• 若 $x>r$，则最大值时以 $(r,0)$ 为参考点平衡。因此有

$$(r-x_0)\times m_0=(x-r)\times m_{max}$$

即

$$m\le \frac{r-x_0}{x-r}m_0$$

• 若 $x<l$，同上可以得出

$$m\le \frac{x_0-l}{l-x}m_0$$

• 若 $l\le x \le r$，则无论如何都会平衡。

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OK，那到这里这个问题我们就推完了，剩下的就是代码实现的问题了。

代码就不放了，看楼上大佬的吧。