自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	老K AFOed.

搬运于2025-08-24 22:07:12，当前版本为作者最后更新于2018-12-17 17:38:47，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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yyf神仙讲了离散性随机变量的期望，实际上这道题是连续性随机变量。

连续性随机变量的期望为$\int_{-\infty}^\infty xf(x)\textrm{d}x$，其中$f(x)$为$x$取值的密度分布函数，满足$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\textrm{d}x=1$。

那么总金额$w$对应的分布函数就是：

$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{w} & 0\le x\le w\\ 0 & x<0\space or\space x>w\end{cases} $$

实际上$n$是没用的，因为$n$个人来抢并不是$n$个人会抢完。

其实看了样例猜到期望抢到一半，每次就都是/2就可以A掉这题了（逃）

然而严谨的证明第$k$个人期望抢到$\frac{w}{2^k}$：

首先$k=1$期望抢到$\int_0^w\frac{x\textrm{d}x}{w}=\frac{w}{2}$。

接下来假如已知$k=n-1$时成立，则第$k$个人期望抢到$\int_0^w\frac{\frac{x}{2^{n-1}}\textrm{d}x}{w}=\frac{w}{2^{n}}$，说明$k=n$同样成立。

（$x$指的是第一个人抢到的钱数）