自动搬运

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	ytb2024 我是 闪避 ^_^

搬运于2025-08-24 22:05:56，当前版本为作者最后更新于2024-02-07 23:04:18，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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题意：$a_1 = 2$，$a_{n + 1} = \left( \sqrt [k] {a_n - n} + 2 \right) ^ k + n + 1$，求最小整数 $k$ 使得 $a_n \equiv b \pmod m$。

$$\begin{aligned} a_{n + 1} &= \left( \sqrt [k] {a_n - n} + 2 \right) ^ k + n + 1 \\ a_{n + 1} - \left( n +1 \right) &= \left( \sqrt [k] {a_n - n} + 2 \right) ^ k \\ \sqrt [k] {a_{n + 1} - \left( n +1 \right)} &= \sqrt [k] {a_n - n} + 2 \\ \sqrt [k] {a_{n + 1} - \left( n +1 \right)} - \sqrt [k] {a_n - n} &= 2 \end{aligned} $$$$\texttt{令 } g \left( x \right) = \sqrt [k] {a_x - x} $$$$\begin{aligned} g \left( n + 1 \right) - g \left( n \right) &= 2 \\ g \left( n \right) - g \left( 1 \right) &= 2 \times \left( n - 1 \right) \end{aligned} $$$$\begin{aligned} g \left( 1 \right) &= \sqrt [k] {a_1 - 1} = \sqrt [k] {1} = 1 \\ g \left( n \right) &= 2 \times n - 1 \end{aligned} $$$$\begin{aligned} \sqrt [k] {a_n - n} &= 2 \times n - 1 \\ a_n - n &= \left( 2 \times n - 1 \right) ^ k \\ a_n &= \left( 2 \times n - 1 \right) ^ k + n \end{aligned} $$$$\begin{aligned} a_n &\equiv b \pmod m \\ \left( 2 \times n - 1 \right) ^ k + n &\equiv b \pmod m \\ \left( 2 \times n - 1 \right) ^ k &\equiv b - n \pmod m \end{aligned} $$