自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	灯芯糕 草，赶紧先找个坑把自己埋了

搬运于2025-08-24 22:05:35，当前版本为作者最后更新于2019-02-13 15:45:14，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

$solution:$

这题其实牵扯到了一种普遍的二分答案的方法，与[HNOI2009 最小圈](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3199) 一样有许多的共同点。因为这些题要求我们输出的ans都是针对权值总和不断计算而来的。本题就是个经典例题（二分答案求最优比率生成树），经典因为我们可以直接通过题意看出它要求我们输出的**最终答案**实际上就是：

$ans= \frac{F-\sum{v_i} \quad (i\in S)}{\sum{t_i}\quad (i\in S)} $

（其中S为我们最终所选择的最优生成树的边权的集合）我们将这个式子转换一下，可以得到：

$F=ans*\sum{t_i}+\sum{v_i}$

$F=\sum{ans*t_i+v_i}\quad _{(i\in S)}$

注：这一点我们一定要清楚：此时等式右边就是生成树（只不过；树边权变成了$ans*t_i+v_i$）

​ 上述式子中我们的ans就是我们最终要输出的最优比率，这个ans是我们可以二分得到的！因为答案具有单调性，当然这个需要我们进一步证明：首先，因为ans是最优比率，那么我们可以知道，对于图上的任意一个生成树的边的集合K，一定有：$\frac{F-\sum{v_i} \quad (i\in K)}{\sum{t_i}\quad (i\in K)}\leq ans $ （根据上述方式转化得：$F\leq \sum{ans*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$）只有当我们的集合K取到最优的生成树时也就是K=S的时候，这个式子才会是等式！然后我们来证明二分的正确性：当我们二分求ans的时候，对于我们当前的比率x，一定有这三种情况：

$1.$ $x>ans$ ：

当我们比率为ans时：$F\leq \sum{ans*t_i+v_i}\quad {(i\in K )}$

现在我们的比率x比ans还大！那我们的肯定有：$F< \sum{x*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$

$2.$ $x=ans$ ：

我已经说过了：$F\leq\sum{ans*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$

$3.$ $x<ans$ ：

这个时候我们发现我们不能确认$F$ 和 $\sum{ans*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$ 的大小关系了！因为我们的K是任意生成树的边的集合，此时我们小于等于大于都有可能，但也正是如此，我们可以证明一定存在一个生成树边的集合满足$F>\sum{x*t_i+v_i}\quad {(i\in S)}$因为就拿我们ans情况下的最优边集S，因为 $F=\sum{ans*t_i+v_i}\quad {(i\in S)}$ 此时我们的$x<ans$ 所以$F>\sum{x*t_i+v_i}\quad {(i\in S)}$

如何二分（为什么用最小生成树）：

那我们证明了上面这个东西有什么用呢？根据上述三个关系的特性（就是那三个不等式），我们发现当我们将x带进去后，只要求得最小的 $\sum{ans*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$ 我们就可以直接判断出x和ans的关系了！

我们将最小的$\sum{ans*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$ 看做min

1. 若$F<min$，则必有$F< \sum{x*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$ 这不就是第一种情况吗？x必然大于ans
2. 若$F=min$，则必有$F \leq \sum{x*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$ 这不就是第二种情况吗？x必然等于ans
3. 若$F>min$，则x必然不大于也不等于ans，那不就是小于ans吗？（上面证过了若x<ans，则必存在一个K$F>\sum{x*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$）

那我们如何求最小的$\sum{x*t_i+v_i}\quad {(i\in K)}$ 呢？ 这就是求最小生成树嘛（只不过；树边权变成了$ans*t_i+v_i$，我们每一次都重新排个序就行了）！

总复杂度：$O(m *logm*log(r-l+1))$

$code:$

//耗时 41ms 内存 1036KB
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define rg register int

using namespace std;

const db cha=1e-9;

struct su{
	int x,y,v,t;db k;
}a[10005];

int n,m,f;
int s[405];

inline int qr(){
	char ch;
	while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
	int res=ch^48;
	while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
		res=res*10+(ch^48);
	return res;
}

inline bool cmp(su x,su y){return x.k<y.k;}

inline int get(int x){
	if(s[x]==x)return x;
	return s[x]=get(s[x]);
}

inline bool check(db x){
	db res=0;
	for(rg i=1;i<=n;++i)s[i]=i;//并查集
	for(rg i=1;i<=m;++i)
		a[i].k=x*a[i].t+(db)a[i].v;//更新边权
	sort(a+1,a+m+1,cmp);//kruskal求最小生成树
	for(rg i=1;i<=m;++i)
		if(get(a[i].x)!=get(a[i].y))
			res+=a[i].k,s[get(a[i].x)]=get(a[i].y);//求新边权的总和
	return f>res?0:1;
}

int main(){
	freopen("quake.in","r",stdin);
	freopen("quake.out","w",stdout);
	n=qr(),m=qr(),f=qr();
	for(rg i=1;i<=m;++i)
		a[i]=su{qr(),qr(),qr(),qr()};
	if(check(0))puts("0.0000"),exit(0);//特判
	db l=0,r=1e14,mid;
	while(r-l>cha){//二分答案
		mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))r=mid-cha;
		else l=mid+cha;
	}printf("%.4lf",l);
	return 0;
}