自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	Chinese_zjc_ 发生肾么事了?

搬运于2025-08-24 22:05:13，当前版本为作者最后更新于2020-09-03 18:55:41，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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先看下面这张图:

$B$ 绕 $A$ 顺时针旋转的时候, $C$ , $D$ , $E$ 等点也随着 $B$ 一起旋转.

从题目配图中显然可以看出, $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ 五点之间的相对位置不会改变.

那我们直接可以把 $v$ , $t$ 这些量忽略掉,于是这道题目就成了静态.

而且由于正五边形存在对称轴,因此只需要考虑 $3$ 个点 $C$ , $D$ , $E$ 能否攻击到 $A$ .

我们设 $A:(0,0)$ , $B$ 在 $y$ 轴上.

易得: $B:(0,R)$ , $C:(0,R-r)$ ,正五边形关于 $y$ 轴对称.

然后我们来求 $D$ 和 $E$ 的坐标.

作 $BF\bot BC$交于点 $B$ , $DF\bot BF$ 交于点 $F$ , $EG\bot BF$交于点 $G$ .

如图:

则易得 $\angle DBF=18^\circ$ , $\angle EBG=54^\circ$ .

再使用三角函数,即得: $ D:(-\cos(18^\circ)\times r,R-\sin(18^\circ)\times r) $ , $ E:(-\cos(54^\circ)\times r,R+\sin(54^\circ)\times r) $ .

再考虑子弹方向:

对于 $D$ 和 $E$ 第一个子弹的方向分别是射线 $DF$ 和射线 $GE$ .

对于第 $i+1$ 个子弹,相对于第 $1$ 个子弹顺时针旋转了 $\frac{360^\circ}{k}\times i$ .

因此若 $D$ 或 $E$ 要射到 $A$ , $180^\circ-\angle AEG$ 或 $180^\circ-\angle AFD$ 必须得是 $\frac{360^\circ}{k}$ 的倍数.

让我们求出 $\angle AEG$ 和 $\angle AFD$ 的度数.

依然是三角函数:

$$\angle AEG=\arctan(\frac{\cos(18^\circ)\times r}{R-\sin(18^\circ)\times r})\\ \angle AFD=\arctan(\frac{\cos(54^\circ)\times r}{R+\sin(54^\circ)\times r})\\ $$

这样,直接计算判断即可,而 $B$ 射到 $A$ 的情况显然当且仅当 $k$ 为偶数.

那我们就可以愉快地写代码了.

$Code\ \#1$:

//This Code was made by Chinese_zjc_.
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define int long long
#define PI 3.14159265358979323
#define EQUAL 0.00000000000001
#define double long double
using namespace std;
int T,k;
double r,R,v,t,siz[5],atime;
bool answered;
double _360topi(const double IN)
{
    return IN/180*PI;
}
signed main()
{
    scanf("%lld",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%Lf%Lf%Lf%Lf%lld",&r,&R,&v,&t,&k);
        answered=false;
        if(!(k&1))
        {
            puts("no");
            continue;
        }
        siz[1]=_360topi(180)-atan((cos(_360topi(18))*r)/(R-sin(_360topi(18))*r));
        siz[2]=_360topi(180)-atan((cos(_360topi(54))*r)/(R+sin(_360topi(54))*r));
        atime=PI*2/k;
        for(int i=1;i<=2;++i)
        {
            int tim=siz[i]/atime+EQUAL;
            if(abs(tim*atime-siz[i])<EQUAL)
            {
                puts("no");
                answered=true;
                break;
            }
        }
        if(!answered)
        {
            puts("yes");
        }
    }
    return 0;
}

回头看到式 $(1)$ ,这就不禁让人想问了:

是不是它们都是无理数?

这是显然的,证明略.

那我们就可以拿出我们在二年级就学过的知识:

无理数除以一个有理数的结果必定为无理数.

很显然,因此证明略.

那代码可以进行简化:

$Code\ \#2$:

//This Code was made by Chinese_zjc_.
#include<cstdio>
using namespace std;
int T,k;
double r,R,v,t;
signed main()
{
    scanf("%lld",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lf%lf%lf%lf%lld",&r,&R,&v,&t,&k);
        puts(k&1?"yes":"no");
    }
    return 0;
}