自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	Ebola 来证个定理吧！

搬运于2025-08-24 22:03:47，当前版本为作者最后更新于2019-02-17 12:08:20，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

其实做法是和楼下本质上一样的，但本篇题解利用了异或运算使得结论的猜想与证明更加自然

题目中的条件其实就是说：$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\oplus f_{i-1,j+1}$，其中$\oplus$表示异或

不难推出结论：$f_{i,j}=f_{i-2^k,j-2^k}\oplus f_{i-2^k,j+2^k},\quad k\in\mathbb{N}$。数学归纳法证明如下：

1. 当$k=0$时，这就是题目给出的条件
2. 当$k>0$时，假设结论对于$k-1$成立，则有：$f_{i,j}=f_{i-2^{k-1},j-2^{k-1}}\oplus f_{i-2^{k-1},j+2^{k-1}}=(f_{i-2^{k},j-2^{k}}\oplus f_{i-2^{k},j})\oplus(f_{i-2^{k},j}\oplus f_{i-2^{k},j+2^k})=f_{i-2^k,j-2^k}\oplus f_{i-2^k,j+2^k}$

于是问题就变得非常简单了。将$T$二进制分解，然后套用上述结论推$\log T$行就行了，复杂度$O(n\log T)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=100010;
int n,f[2][N],p=0;
char s[N];
LL T;

int main()
{
    cin>>n>>T>>s;
    for(int i=0;i<n;i++) f[0][i]=s[i]-'0';
    for(int k=0;k<60;k++)if(T&(1ll<<k))
    {
        int pr=(1ll<<k)%n,pl=(n-pr)%n;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            f[p^1][i]=f[p][pl]^f[p][pr];
            if(++pl>=n) pl-=n;
            if(++pr>=n) pr-=n;
        }
        p^=1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d",f[p][i]);
    return 0;
}