自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	一只萌新 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负

搬运于2025-08-24 22:03:35，当前版本为作者最后更新于2019-08-21 17:26:36，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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$\color{teal}{Blog}$

P4783 【模板】矩阵求逆

题目描述

求一个$N×N$的矩阵的逆矩阵。答案对$10^9+7$取模。

1.逆矩阵的定义

假设 $A$ 是一个方阵，如果存在一个矩阵 $A^{-1}$，使得

$$A^{-1}A=I$$

并且

$$AA^{-1}=I$$

那么，矩阵 A 就是可逆的，$A^{-1}$ 称为 A 的逆矩阵

2.逆矩阵求法 —— 初等变换法（高斯-约旦消元）

0.高斯-约旦消元

详见 P3389 【模板】高斯消元法 题解部分

高斯约旦消元与高斯消元区别：

高斯消元 -> 消成上三角矩阵 

高斯-约旦消元 -> 消成对角矩阵 

约旦消元法的精度更好,代码更简单,没有回带的过程

void Gauss_jordan(){
	/***** 行的交换&加减消元 *****/ 
	for(re int i=1,r;i<=n;++i){	//正在处理第i行 
		r=i;
		for(re int j=i+1;j<=n;++j) 
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j;
		if(fabs(a[r][i])<eps){
			puts("No Solution");return;
		}
		if(i!=r) swap(a[i],a[r]);
		
		for(re int k=1;k<=n;++k){
		//每一行都处理  
			if(k==i) continue;
			double p=a[k][i]/a[i][i];
			for(re int j=i;j<=n+1;++j) a[k][j]-=p*a[i][j];
		} 
	}	
	
	//上述操作后会剩下对角矩阵,答案要除以系数    
	for(re int i=1;i<=n;++i) printf("%.2lf\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
}

1.矩阵求逆

思路

• 求$A$的逆矩阵，把$A$和单位矩阵$I$放在一个矩阵里
• 对$A$进行加减消元使$A$化成单位矩阵
• 此时原来单位矩阵转化成逆矩阵

原理

$$A^{-1} * [AI] = [I A^{-1}]$$

举个栗子

求

$$\begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\-1 & 2 & -1 \\0 & -1 & 2\end{bmatrix} $$

首先

$$\begin{bmatrix}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

对左边进行消元可得

$$\begin{bmatrix}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\0 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} &\frac{2}{3} & 1 \end{bmatrix} $$

此时已消成上三角矩阵，高斯消元开始回代，但约旦会消成对角矩阵

$$\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\0 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & \frac{3}{4} \\0 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1\end{bmatrix} $$

最后每行除以系数

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{bmatrix} $$

此时右半边即为所求

2.细节

1. 开long long（不要冒风险，乘法很容易溢出）
2. 模意义下除以一个数等于乘上逆元，可用快速幂求逆元（费马小定理）

$Code$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;

il ll read(){
    ll s=0,f=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-'),c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(c^'0'),c=getchar();
    return f?-s:s;
}

const int N=405,mod=1e9+7;
int n;
ll a[N][N<<1];
il ll qpow(ll x,ll k){
	ll ans=1;
	while(k){
		if(k&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		k>>=1;
	}
	return ans%mod;
}

il void Gauss_j(){	
	for(re int i=1,r;i<=n;++i){
		r=i;
		for(re int j=i+1;j<=n;++j)
			if(a[j][i]>a[r][i]) r=j;
		if(r!=i) swap(a[i],a[r]);
		if(!a[i][i]){puts("No Solution");return;}
		
		int kk=qpow(a[i][i],mod-2);	//求逆元 
		for(re int k=1;k<=n;++k){
			if(k==i) continue;
			int p=a[k][i]*kk%mod;
			for(re int j=i;j<=(n<<1);++j) 
				a[k][j]=((a[k][j]-p*a[i][j])%mod+mod)%mod;
		} 
		
		for(re int j=1;j<=(n<<1);++j) a[i][j]=(a[i][j]*kk%mod);
		//更新当前行 如果放在最后要再求一次逆元,不如直接放在这里  
	}	
	
	for(re int i=1;i<=n;++i){
		for(re int j=n+1;j<(n<<1);++j) printf("%lld ",a[i][j]);
		printf("%lld\n",a[i][n<<1]);
	}
}
int main(){
	n=read();
	for(re int i=1;i<=n;++i)
		for(re int j=1;j<=n;++j)
			a[i][j]=read(),a[i][i+n]=1;
	
	Gauss_j();
    return 0;
}

网上浏览一圈头都要炸掉，线性代数太可怕了，定义好多

最后只看懂了这种方法

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参考文章

线性代数之——矩阵乘法和逆矩阵

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)