自动搬运

查看原文

来自洛谷，原作者为

	dodo **

搬运于2025-08-24 22:01:35，当前版本为作者最后更新于2019-03-28 15:23:04，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

自动搬运只会搬运当前题目点赞数最高的题解，您可前往洛谷题解查看更多

以下是正文

楼上两篇题解写的有一点点复杂，有map还写了离散化……

差分固然是一种理解方式，但其实有一种更好的理解方法和更简洁的代码。

那么现在我就来讲一讲

题意简述

文字语言：求树上最大权值随祖孙关系不降的点集大小

数学语言：求 $|S_{max}|$ 使得 $\forall{i,j(ancestor\ of \ i)\in S}, w_i\leq w_j$

为了方便描述，我们定义这种集合为“树上LIS”。

题解

考虑采用数学归纳法

类似处理序列LIS问题，对于每一个点 $u$ 使用multiset维护一个集合 $f_u$ 满足以下性质

• $f_{u,i}$ 表示在 $u$ 的子树中选择 $i$ 个点组成的所有树上LIS中，级别值 $w$ 最小值最大的那一个。

• 以 $u$ 为根节点的 $ans_u=|f_u|$（$|f_u|$表示集合 $f_u$ 的大小）（该性质可由上述性质发现）

对于任意一个叶子节点 $u$, $f_u$显然只含有 $w_u$，满足树上LIS性质。

再考虑不是叶子节点的 $u$

假设点 $u$ 的所有孩子 $v$ 的 $f_v$ 已经满足求出并满足上述性质，我们应该如何求出 $u$ 的 $f_u$ 呢？

首先，显然 $u$ 的所有孩子不会相互影响，要从以 $u$ 为根节点的子树（除 $u$ ）中选出大小为 $i$ 的树上LIS，可以直接贪心地选所有孩子集合中最大的 $i$ 个，于是只需将全部 $f_v$ 取并集并排序即可，于是可以直接将孩子们的 $f_v$ 集合全部启发式合并丢入 $f_u$ 的multiset ，记 $S=\bigcup_{v\in u.son}f_v$

现在我们考虑将 $u$ 加入 $S$ 集合并使集合满足性质

我们直接在multiset上二分出第一个 $i$ 满足 $f_{u,i}\geq w_u$ 那么我们将 $u$ 接在 $i$ 前显然是最优方案，此时 $f_{u,i-1}$ 就可以被 $w_u$ 替换，那么现在的集合就是我们要求的 $f_u$，并且满足树上LIS性质。

按照这样的方式在树上dfs即可求出 $f_1$，此时答案即为 $|f_1|$。

复杂度证明

该算法的复杂度为 $O(nlog^2n)$

考虑同样采用数学归纳法

记 $T_u$ 表示处理出 $f_u$ 的时间复杂度，$S_u$表示 $u$ 的子树大小

我们需要证明 $T_u=S_ulog^2S_u$

对于任意一个叶子节点 $u$，$S_u=1$，此时只需在multiset中插入 $w_u$ 复杂度为 $O(1)$，满足$T_i=S_ulog^2S_u$

再考虑不是叶子节点的 $u$

假设点 $u$ 的所有孩子 $v$ 的 $T_v=S_vlog^2S_v$

那么 $T_i=\sum_{v\in u.son}T_v+T_{merge}$

因为子孙们包含的节点个数$\sum_{v\in u.son}S_v+1=S_u$

所以$\sum_{v\in u.son}T_v\leq S_ulog^2S_u$

启发式合并的复杂度为 $S_ulogS_u$，使用multiset维护加一个log，$T_{merge}=S_ulog^2S_u$

所以$T_u$与 $S_ulog^2S_u$ 同阶

证毕。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;
multiset<int> f[N];
multiset<int>::iterator it;
int n, w[N], ans;
int h[N], to[N], nxt[N], t;
bool comp(int x, int y) { return w[x] < w[y]; }
void add(int u, int v) { to[++t] = v, nxt[t] = h[u], h[u] = t; }
void merge(int u, int v) {
    if(f[u].size() < f[v].size()) swap(f[u], f[v]);
    for(it = f[v].begin(); it != f[v].end(); ++it) f[u].insert(*it);
}
void dfs(int u) {
    for(int i = h[u]; i; i = nxt[i]) dfs(to[i]), merge(u, to[i]);
    f[u].insert(w[u]);
    it = f[u].lower_bound(w[u]);
    if(it != f[u].begin()) f[u].erase(--it);
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &w[i]);
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        int f;
        scanf("%d", &f);
        add(f, i);
    }
    dfs(1);
    printf("%d", f[1].size());
}