自动搬运

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	League丶翎 **

搬运于2025-08-24 22:01:14，当前版本为作者最后更新于2018-06-02 16:21:11，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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概率题是真的仙

Solution

用$f[i]$表示现在取到$i$张邮票,要取完剩下邮票的期望次数 显然$f[n]=0$ 现在已经取得$i$张邮票,所以下一次取邮票有$\frac{i}{n}$的概率取到已经有的,期望为$\frac{i}{n}*f[i]$ 有$\frac{n-i}{n}$的概率取到没有的,期望为$\frac{n-i}{n}*f[i+1]$,这次取邮票的期望为1,所以总期望为:

$$f[i]=\frac{i}{n}*f[i]+\frac{n-i}{n}*f[i+1]+1$$

化简可得:$f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}$

用$g[i]$表示现在取到$i$张邮票,要取完剩下邮票的期望价格 显然$g[n]=0$ 现在已经取得$i$张邮票,所以下一次取邮票有$\frac{i}{n}$的概率取到已经有的,期望为$\frac{i}{n}*(g[i]+f[i]+1)$,有$\frac{n-i}{n}$的概率取到没有的,期望为$\frac{n-i}{n}*(g[i+1]+f[i+1]+1)$所以总期望为:

$$g[i]=\frac{i}{n}*(g[i]+f[i]+1)+\frac{n-i}{n}*(g[i+1]+f[i+1]+1) $$

化简可得:$g[i]=\frac{i}{n-i}*f[i]+g[i+1]+f[i+1]+\frac{n}{n-i}$

前面的推导貌似很自然的样子,但是为啥$g[i]$的推导式看着就那么奇怪呢? 那是因为式子的结构表示的是每次都将后面取到的邮票费用+1(总费用+f[i]),再加上自己的费用(+1) 这样就很好理解了

为啥不是$f[0]*(f[0]+1)/2*n$我也想了很久 因为推导过来每次的贡献是不相同的 比如说所有情况中有1次需要取2张,1次需要取3张,那么总贡献为$(3+6)/2=4.5$,而期望次数为2.5,显然是不对的...

代码比思考简单多了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double f[10005],g[10005];
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=n-1;~i;--i) {
		f[i]=f[i+1]+(1.0*n)/(1.0*(n-i));
		g[i]=(1.0*i)/(1.0*(n-i))*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
	}
	printf("%.2lf\n",g[0]);
	return 0;
}