自动搬运

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搬运于2025-08-24 22:01:03，当前版本为作者最后更新于2020-03-06 12:54:04，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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Upd:修正计算错误和错别字

【模板】自适应辛普森法2

反驳

反对楼上的答案，反常积分的收敛性不是这么判断的！

反驳1

当 $x\to a$ 时 $f(x)\to\infty$ ， $\int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x$ 不一定发散。例：

$\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$

$\int_0^1\ln x\operatorname{d}\!x=\lim\limits_{x\to1^-}(x\ln x-x)-\lim\limits_{x\to0^+}(x\ln x-x)=-1-\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x$

应用洛必达法则， $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac1x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}=\lim\limits_{x\to0^+}-x=0$

所以 $\int_0^1\ln x\operatorname{d}\!x$ 收敛且等于 $-1$ 。

反驳2

当 $x\to+\infty$ 时 $f(x)\to0$ ，$\int_a^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x$ 不一定收敛。例：

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac1x=0$

$\int_1^{+\infty}\frac1x\operatorname{d}\!x=\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x-\lim\limits_{x\to1^+}\ln x=+\infty-1=+\infty$

所以 $\int_1^{+\infty}\frac1x\operatorname{d}\!x$ 发散。

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无穷界积分的审敛法

下面我们都讨论在定义域内连续的函数。

定理：

设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有 $f(x)\ge0$ 。

如果存在常数 $p>1$ 使得 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^pf(x)=c<+\infty$ ，那么 $\int_a^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x$ 收敛。

如果 $\lim\limits_{x\to+\infty}xf(x)=d>0$ ，那么 $\int_a^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x$ 发散。

将区间换为 $(-\infty,a]$ 时定理仍成立。

想要证明？在这里

应用

因为 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2·\frac1{x\sqrt{x^2+1}}=1<+\infty$ ，所以 $\int_1^{+\infty}\frac1{x\sqrt{x^2+1}}\operatorname{d}\!x$ 收敛。

因为 $\lim\limits_{x\to+\infty}x·\frac1{\sqrt{x^2-1}}=1>0$ ，所以 $\int_2^{+\infty}\frac1{\sqrt{x^2-1}}\operatorname{d}\!x$ 发散。

无穷间断点的审敛法

定理：

设 $a$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点， $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上有 $f(x)\ge0$ 。

如果存在常数 $0<p<1$ 使得 $\lim\limits_{x\to a^+}(x-a)^pf(x)=c<+\infty$ ，那么 $\int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x$ 收敛。

如果 $\lim\limits_{x\to a^+}(x-a)f(x)=d>0$ ，那么 $\int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x$ 发散。

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设 $b$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点， $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上有 $f(x)\ge0$ 。

如果存在常数 $0<p<1$ 使得 $\lim\limits_{x\to b^-}(b-x)^pf(x)=c<+\infty$ ，那么 $\int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x$ 发散。

如果 $\lim\limits_{x\to b^-}(b-x)f(x)=d>0$ ，那么 $\int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x$ 发散。

证明同样在上面。

应用：

因为 $\lim\limits_{x\to1^-}(1-x)^{\frac12}·\frac1{\sqrt{1-x^2}}=\lim\limits_{x\to1^-}\frac1{\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{2}}2<+\infty$ ，所以 $\int_0^1\frac1{\sqrt{1-x^2}}\operatorname{d}\!x$ 收敛。

因为 $\lim\limits_{x\to1^-}(x-1)·\frac1{\ln x}=\lim\limits_{x\to1^-}\frac1{\frac1x}=1>0$ ，所以 $\int_1^3\frac{\operatorname{d}\!x}{\ln x}$ 发散。

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本题

本题中，$x\in[0,+\infty),f(x)=x^{\frac ax-x}=x^{\frac{a-x^2}x}\ge0$ 。

$a<0$ 时发散的证明

$\lim\limits_{x\to0^+}x^{\frac{a-x^2}x}=e^{\lim\limits_{x\to0^+}\frac{a-x^2}x\ln x}=\begin{cases}e^{+\infty}=+\infty&a<0\\e^0=1&a=0\\e^{-\infty}=0&a>0\end{cases}$

所以只有 $a<0$ 时 $\int_0^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x$ 可能在 $x=0$ 处发散。

当 $a<0$ 时，$\lim\limits_{x\to0^+}x·x^{\frac{a-x^2}x}=e^{\lim\limits_{x\to0^+}\frac{a-x^2+x}x\ln x}=e^{+\infty}=+\infty$ ，所以 $\int_0^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x$ 在 $0$ 处发散。

$+\infty$ 处收敛的证明

$\lim\limits_{x\to+\infty}x^2·x^{\frac{a-x^2}x}=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{a-x^2+2x}x\ln x}$

由洛必达法则， $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{(a-x^2+2x)\ln x}x=\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x+2)\ln x+\frac{a-x^2+2x}x=-\infty$ 。

所以 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2·x^{\frac{a-x^2}x}=e^{-\infty}=0<+\infty$ 。

所以 $\int_0^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x$ 在正无穷大处收敛。

综上所述， $\int_0^{+\infty}f(x)\operatorname{d}\!x$ 在 $a<0$ 时发散，在 $a\ge0$ 时收敛。