自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	asuldb 哭晕了喵

搬运于2025-08-24 21:59:13，当前版本为作者最后更新于2018-09-03 17:21:53，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

---

就是运用$Lucas$推一个柿子

首先是前置芝士$Lucas$定理

$$C_{n}^{m}\%p=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}\%p$$

至于证明

我建议去问一下Lucas本人

至于这道题，我们要求的是这个柿子

$$\sum_{i=0}^kC_{n}^i\%p$$

于是我们设$f(n,k)=\sum_{i=0}^kC_{n}^i$

我们就可以化柿子啦

$$f(n,k)=\sum_{i=0}^kC_{n}^i$$ $$\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }=\sum_{i=0}^kC_{n/p}^{i/p}*C_{n\%p}^{i\%p} $$

这个东西一看就很熟悉，$n/p$啊，显然跟整除分块差不多啊

$$=C_{n/p}^0\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i+C_{n/p}^1\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i+...+C_{n/p}^{k/p}\sum_{i=0}^{k\%p}C_{n\%p}^i $$

前面有$0$到$k/p-1$这些个整块，于是我们可以将$\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i$提出来

变成

$$\sum_{i=0}^{p-1}C_{n\%p}^i*(C_{n/p}^0+C_{n/p}^1+...C_{n/p}^{k/p-1}) $$

那这个东西岂不是可以写成

$$f(n\%p,p-1)*f(n/p,k/p-1)$$

在加上那个不完整的块

$\sum_{i=0}^{k\%p}C_{n\%p}^i$可以写成$f(n\%p,k\%p)$

于是就有

$$f(n,k)=f(n\%p,p-1)*f(n/p,k/p-1)+C_{n/p}^{k/p}*f(n\%p,k\%p) $$

由于$n\%p$还有$k\%p$都小于$2333$，所以$f(n\%p,p-1)$还有$f(n\%p,k\%p)$可以直接预处理好可以直接求出来

至于那个$C_{n/p}^{k/p}$就直接上$Lucas$好了

时间复杂度$O(p^2+Tlog_{2333}^2n)$

代码

非常sb的把$C_0^0$当成$0$WA了好几发

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define re register
#define LL long long
#define maxn 2335
const int P=2333;
LL c[maxn+2][maxn+2];
LL f[maxn+2][maxn+2];
inline LL Lucas(LL n,LL m)
{
	if(!m) return 1;
	if(n==m) return 1;
	if(n<m) return 0;
	return c[n%P][m%P]*Lucas(n/P,m/P)%P;
}
inline LL F(LL n,LL k)
{
	if(k<0) return 0;
	if(!n) return 1;
	if(!k) return 1;
	if(n<P&&k<P) return f[n][k];
	return (F(n/P,k/P-1)*f[n%P][P-1]%P+Lucas(n/P,k/P)*f[n%P][k%P]%P)%P;
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	c[0][0]=1;
	for(re int i=1;i<=maxn;i++) 
    	c[i][i]=c[i][0]=1;
	for(re int i=1;i<=maxn;i++)
		for(re int j=1;j<i;j++)
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%P;
	f[0][0]=1;
	for(re int i=1;i<=maxn;i++) 
    	f[i][0]=1;
	for(re int i=0;i<=maxn;i++)
		for(re int j=1;j<=maxn;j++)
			f[i][j]=(c[i][j]+f[i][j-1])%P;
    LL n,k;
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&k);
		printf("%lld\n",F(n,k));
	}
	return 0;
}