自动搬运

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搬运于2025-08-24 21:52:50，当前版本为作者最后更新于2019-07-15 21:30:41，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

先无良宣传一下博客 $wwwwww$
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知识点 : $DP$ 优化 , 单调队列

• 题意:

  有一个 $(N\times M)$ 大小的矩阵
  部分矩阵中的点 带有价值
  可以选择第一行 , 任何一个位置作为起点 .

  对于当前的位置 $(i,j)\$ (表示在第 $i$ 行第 $j$ 列)
  可以转移到: $(i+1,\ [j-T , j+T]\ )$ 中任意一个点 $(j-T>0\ ,\ j+t\leqslant M)$
  并且获得当前所在点的价值 .

  求 : 可以取得的 最大价值和

  样例解释:
  

  1.灵梦从 $(1,1)$出发 : 总价值$+3$ , 现在为 $3$
  2.灵梦转移到 $(2,2)$ : 总价值$+3$ ,现在为 $6$
  3.灵梦转移到 $(3,3)$ : 总价值$+3$ ,现在为 $9$
  故 , 总价值为 $9$

• 分析题意:

  很显然 这是一道 $DP$
  状态转移方程 极其简单 :
  用 $f[i][j]$ 表示在点 $(i,j)$ 能到达的最大价值和 , 则有: $f[i][j] = max(f[i-1][k]) + v[i][j]\ ,\ (k\in [j-T , j+T]\ )$

  • 暴力:
    直接枚举所有点 , 再枚举能转移到他的点 ?
    复杂度 $O(N^3)$ 级别 ,
    $40Pts$ 到手

  考虑优化 :

  • 可知:
    第 $i$ 行上点的 $f[][]$ , 只与第 $i-1$ 行有关
    则可将每相邻的两行 , 单独拆分出来考虑 :

  如图:

  

  可以发现 :

  1. 转移到 点$(i,j)$ 的点 ,
     为 $i-1$ 行 , 区间 $\underline{[j-T,j+T]}$ 中 , $f[][]$ 最大的点

  2. 转移到 点$(i,j+1)$ 的点 ,
     为 $i-1$ 行 ,区间 $\underline{[j-T+1,j+T+1]}$ 中 , $f[][]$ 最大的点

  3. 转移到 点$(i,j+2)$ 的点 ,
     为 $i-1$ 行 ,区间 $\underline{[j-T+2,j+T+2]}$ 中 , $f[][]$ 最大的点

  后两个区间 ,
  都可以通过 上一个区间 右移一个单位 得到
  这不禁让我们想到了另一道题 : P1886 滑动窗口
  如果您还未学习过单调队列 , 推荐这篇文章:
  【洛谷日报#9】 [Sweetlemon] 朝花中学OI队的奋斗历程——浅谈单调队列

  这种 滑动窗口型 最值问题 ,
  显然 , 可以通过 单调队列 来进行维护 .

  由上 , 我们便找到了一种合适 $DP$ 优化方法: 单调队列优化.

• 算法实现:

  假设,现在已经更新到第 $i$ 行 :

  1. 先初始化单调队列 ,
     将能够更新 $(i,1)$ 的点$(i,k) , (k \in [1,1+T])$ ,
     加入单调队列
  2. 开始循环 , 更新 $[1,M]$ 中每一个点 :
     • 将能够转移到 $j$ 的最右侧一个点 $(i-1 , j+T)$ , 加入队列
     • 使用单调队列找到能够转移到 $j$ 的点的最大$f[][]$
     • 用最大的$f[][]$ 更新 $f[i][j]$
  3. 清空单调队列 , 外层循环进入下一层 ,更新第 $i+1$ 行

  最后找到最后一行中 ,
  最大的 $f[N][j]$ ,
  即所求最值 .

上代码:

由于使用了手写数组模拟队列 ,
清空时只需重置头尾指针 , 及队首元素即可 .
常数吊打 $deque$

#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<cstring>
#define int long long
#define max(a,b) a>b?a:b
//=====================================
const int MARX = 4e3+10;
int n,m,k,t, now,ans;
int f[MARX][MARX];
int head=1,tail=1;//手写双端队列 
int q[MARX]={9223372036854775807};//为q[0]赋一个极大值,来防止插入元素时越界 
//=====================================
inline int read()
{
	int fl=1,w=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch) && ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') fl=-1;
	while(isdigit(ch)){w=w*10+ch-'0',ch=getchar();}
	return fl*w;
}
void in(int x)//向单调队列中插入元素 
{
	while(f[now-1][x]>f[now-1][q[tail]] && tail>=head) 
	  tail--;//取出队尾小于插入元素的数 , 以保证单调性 
	q[++tail]=x;//插入队尾 
}
int find(int x)//查询元素 
{
	if(x+t<=m)in(x+t);//将能转移到x点 的 最后一个元素 x+t 插入队列 
	while(q[head]+t<x) head++;//找到队首第一个能够转移到x的点 
	return q[head]; 
}
//=====================================
signed main()
{
	n=read(),m=read(),k=read(),t=read();
	while(k--)
	{
	  int x=read(),y=read(),w=read();
	  f[x][y]=w;
	}
	
	for(now=2;now<=n;now++)//从第二行,开始转移 
	{
	  for(int i=1;i<=t;i++) in(i);//初始化单调队列 , 满足能够 转移j=1的点 
	  for(int j=1;j<=m;j++) f[now][j]+=f[now-1][find(j)];// 进行转移 
	  head=tail=1 , q[1]=0;//清空队列 
	}
	
	for(int i=1;i<=m;i++)//取得最大值 
	  ans=max(ans,f[n][i]);
	printf("%lld",ans);
}

完成了这篇题解 , 东方众信仰 $++$