自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	离散小波变换° 有志不在年高，无志空长百岁

搬运于2025-08-24 21:52:42，当前版本为作者最后更新于2021-06-14 10:23:21，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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$\texttt{upd 2021.6.14}$ ：修了一点排版。

题目大意

有一个 $\stackrel{\texttt{suika}}{\small\textsf{西瓜}}$ 。现在挖去俯视图上 $[a\degree,b\degree]$ 这一块（特别地，若 $a>b$ ，则是挖去 $[a\degree,360)\cap[0,b]$），询问主视图中红色部分占可见部分的比例。
$T$ 组数据。 $1\le T\le 10^4;0\le a,b<360$ 且 $a,b\in \Bbb{Z};a\neq b$ 。

题解

前置知识

由于我们要求出看到的西瓜的面积，所以把切面转换到主视图非常重要。

令投射线通过点或其他物体，向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。

$$\kern{1pt}\tag*{\small\text{——百度百科}}$$

考虑这样的图形：

这就是一个非常简单的将直线投影到 $x$ 轴上的例子。

我们要做的就是把一个圆投影到平面上，并且计算出它的面积。关于投影，有一个非常重要的结论：投影后的图片的面积，就是投影前的面积乘上夹角的余弦值。显然这个结论对于矩形成立，而我们可以类比微分，把一个圆分成无数个矩形再分别投影。因此我们根据俯视图上，一个圆与主视图的夹角就可计算出这个圆在主视图上的面积。

此外，下文还会用到弧度制。在角度制里，一个完整的圆对应的度数是 $360\degree$，而弧度制里这个值是 $2\pi$。将角度制转换为弧度制非常简单，对于角度制下的数值 $a$ ，转换为弧度制就是 $\dfrac{a}{360}\times 2\pi=\dfrac{a}{180}\pi$。

在讨论各种复杂情况之前，我们先考虑一个更加简单的问题，也就是 $a,b\in[0,180)$ 的情况，并且我们仅考虑主视图右半部分。这种情况同样可以细分分为两类，每类三种。在下文中，我们认为西瓜的半径为 $1$，这显然不会影响答案。

• 第一类： $a<b$ 。观察下面三张图：
  
  • 第一种情况， $a,b\in[0,\dfrac{1}{2}\pi)$。此时可视范围是 $\dfrac{1}{2}\pi$，瓜瓢部分为 $\dfrac{1}{2}\pi(\cos(b)-\cos(a))$。
  • 第二种情况， $a\le \dfrac{1}{2}\pi\le b$。此时可视范围是 $\dfrac{1}{2}\pi\max\{\cos(a),\cos(b)\}$，瓜瓢部分是 $\max\{0,\dfrac{1}{2}\pi(\cos(b)-\cos(a))\}$。
  • 第三种情况， $a,b\in[\dfrac{1}{2}\pi,\pi)$。此时可视部分是 $\dfrac{1}{2}\pi$，看不到瓜瓢。
• 第二类： $a>b$ 。同样地，有三张图：
  
  • 第一种情况， $a,b\in[0,\dfrac{1}{2}\pi)$。此时可视部分是 $\dfrac{1}{2}\pi \cos(b)$，瓜瓢部分是 $\dfrac{1}{2}\pi \cos(a)$。
  • 第二种情况， $a\le \dfrac{1}{2}\pi\le b$。此时可视部分是 $\dfrac{1}{2}\pi$，瓜瓢部分是 $\dfrac{1}{2}\pi\cos(a)$。
  • 第三种情况， $a,b\in[\dfrac{1}{2}\pi,\pi)$。此时可视部分与瓜瓢部分相同，同样是 $\dfrac{1}{2}\pi\cos(a)$。

讨论完了这么多情况，快快封装到一个函数里吧。

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显然，左半边的情况应当与右半边相似。我们只要想办法关于 $x$ 轴翻转即可。一般地，对于左边的角度 $\theta$，翻到右边变成 $\theta'$，应该有：

$$\theta-\pi=\pi-\theta'$$

因此 $\theta'=2\cdot \pi-\theta$。下面开始最终的讨论。

• $a,b$ 都在同一个半圆（即同在 $[0,\pi)$ 或者同在 $[\pi,2\pi)$ 内）。这个时候，对于同时处在的半圆，直接套用刚刚的大讨论。如果 $a<b$，那么另外一个半圆可视部分就是 $\dfrac{1}{2}\pi$，看不到瓜瓢；否则另外一个半圆无可视部分和瓜瓢部分。
• $a,b$ 在分别两个半圆当中。那么把这部分拆成两块，每块都相当于在一个半圆上挖去了一块，所以丢回刚刚的大讨论就行了。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define up(l,r,i) for(int i=l,END##i=r;i<=END##i;++i)
#define dn(r,l,i) for(int i=r,END##i=l;i>=END##i;--i)
using namespace std;
const double pi =acos(-1);
double l,r;	
void slv(double s,double t,bool f){	 //l/r
	if(t<=0.5*pi){
		if(f) l+=sin(s),r+=sin(t); else l+=(sin(t)-sin(s)),r+=1;
	}else if(0.5*pi<=s){
		if(f) l+=sin(s),r+=sin(s); else r+=1;
	} else{
		if(f) l+=sin(s),r+=1;
		else  l+=max(0.0,sin(t)-sin(s)),r+=max(sin(s),sin(t));
	}
}
int main(){
	int T; scanf("%d",&T); up(1,T,TT){
		double a,b; scanf("%lf%lf",&a,&b); l=r=0,a=pi*a/180,b=pi*b/180;
		if(a<=pi&&b<=pi){
			if(a<b) slv(a,b,0),r+=1; else slv(b,a,1);
		} else if(a>pi&&b>pi){
			if(a<b) slv(2*pi-b,2*pi-a,0),r+=1;
			else	slv(2*pi-a,2*pi-b,1);
		} else {
			if(a<b) slv(a,pi,0),slv(2*pi-b,pi,0);
			else	slv(0,b ,0),slv(0,2*pi-a,0);
		}
		printf("%.1lf%%\n",100.0*l/r);
	}
	return 0;
}

$$%偷偷藏个图片源码，没人发现吧 %\documentclass[UTF-8,border=10pt]{standalone} %\usepackage{listings,xcolor,tikz} %\usetikzlibrary{calc} %\newcommand{\suika}[2]{ % \filldraw[fill=green!40!white,draw=green!60!black,thick] (0,0) circle (3); % % \draw[very thick,->] (-3.8,0) -- (3.8,0); % \draw[very thick,->] (0,-3.8) -- (0,3.8); % \node[anchor=south] at (3.8,0) {$x$}; % \node[anchor=west ] at (0,3.8) {$y$}; % % \coordinate (O) at (0,0); % \coordinate (A) at (#1:3); % \coordinate (B) at (#2:3); % % \filldraw[fill=green!90!black,thick] (0,0) -- (A) arc(#1:#2:3) -- (0,0); % \node at ($(A)+(#1:0.2)$) {$a$}; % \node at ($(B)+(#2:0.2)$) {$b$}; % % \draw[dashed,thick] (A) -| (O) (B) -| (O); %} %\begin{document} % \begin{tikzpicture} % \begin{scope} % \suika{-75}{-30}; \node[anchor=north] at (0,-4) {Figure 1}; % \end{scope} % \begin{scope}[xshift=8cm] % \suika{-75}{ 30}; \node[anchor=north] at (0,-4) {Figure 2}; % \end{scope} % \begin{scope}[xshift=16cm] % \suika{ 25}{ 54}; \node[anchor=north] at (0,-4) {Figure 3}; % \end{scope} %\end{tikzpicture} %\end{document} $$