自动搬运

查看原文

来自洛谷，原作者为

	yybyyb **

搬运于2025-08-24 21:39:30，当前版本为作者最后更新于2018-10-08 19:42:57，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

自动搬运只会搬运当前题目点赞数最高的题解，您可前往洛谷题解查看更多

以下是正文

神仙题.jpg。$ZJOI$是真的神仙。
发现$SG$函数等东西完全找不到规律，无奈只能翻题解。

首先设$L[i][j]$表示在$[i,j]$这一段区间的左侧放上一堆数量为$L[i][j]$的石子后，先手必败。同理定义$R[i][j]$表示右侧。

首先我们可以证明$L[i][j]$唯一，假设存在两个$L[i][j]$，显然较大的那个可以通过一步转移转移到较小的那个，所以不合法。因此$L[i][j]$唯一。

接下来考虑如何证明$L[i][j]$一定存在。假设$L[i][j]$不存在，那么对于这段区间而言，在左边加上任意一堆石子先手都必胜，既然先手必胜意味着先手进行一步操作之后可以到达一个必败态，这里分情况讨论。假设先手拿的是最左边的一堆石子，因为不存在$L[i][j]$，所以只要拿了左边的石子之后，当前局面都是必胜态，所以不可能拿左边的石子。那么只能拿右边的石子，那么无论右边拿了一定量之后，无论左边添加了多少，都是一个必败态，那么此时后手在左侧随便拿走一定数量，这个状态也还是一个必败态，显然也不成立。因此$L[i][j]$必定存在。

综上，我们知道了$L[i][j]$一定存在并且唯一，而$L[][],R[][]$显然是对称的，因此$R[i][j]$也满足上述性质。

现在考虑如何求解$L[i][j]$,$R[i][j]$同理。首先边界情况显然，$L[i][i]=a[i]$，因为只剩下两堆一模一样的情况的时候，后手只需要模仿先手的行动对称执行就好了，这样子一定不会输，即先手必败。

接下来来大力分类讨论，为了方便，设$L=L[i][j-1],R=R[i][j-1],x=a[j]$

• $x=R$

  这种情况下显然只需要直接把$a[j]$放进去就好了，即这个区间本身就是一个必败态。所以$L[i][j]=0$。

• $x<L,x<R$

  这种情况下$L[i][j]=x$。这种情况下最靠左的$L[i][j]$和$x=a[j]$是相同的，意味着先手无论怎么取，后手显然可以学着它的方法取，也就意味着左右两堆中显然必然会先拿完一堆，此时后手学着拿的那一堆的石子数一定也是小于$L,R$的。假设先手先拿完了最靠右的一堆，即剩下了$[i,j-1]$，因为$L[i][j-1]$表示的是在这一段区间最左侧加入一个$L[i][j-1]$的堆，无论先手怎么取先手都是必败的，那么我们等价的认为先手取走了这一堆的一部分，显然后手是必胜的。假如先手先取完的是最左的一堆，同理，$R[i][j-1]$的含义是在最右侧加入了一堆，而$a[j]<R[i][j-1]$，我们还是可以等价的认为先手在这一堆中取走了若干石子，而这个状态对于先手而言是必败状态，因此显然后手必胜。

• $R<x<L$

  这种情况下$L[i][j]=x-1$。这样子考虑，假设先手先拿了左边这一堆，那么假设还剩下了$z$个石子，如果$z<R$，后手把右侧的那一堆也给拿成$z$就变成了上面的情况。如果$z\ge R$，那么后手把最后那一堆拿成$z+1$，于是又回到了这种情况，相当于这种情况递归处理。如果先手先拿的是右侧的这一堆，还是一样的，假设把它拿成了$z$，如果$z<R$，同上可以变成$x<L,x<R$的情况；如果$y=R$，直接把左边拿完，就变成了$R[i][j-1]$的定义了，先手必败；如果$z>R$，把左边那堆变成$z-1$，同样递归处理。

• $L<x<R$

  分析同上，$L[i][j]=x+1$。

• $x>L,x>R$

  $L[i][j]=x$。还是一样的，假设先手把其中一堆拿成了$z$。如果$z>L,R$，跟着先手拿成一样多的石子则又回到了这种情况。如果$z<L,R$，则可以回到情况$x<L,R$。否则的话对应着把另外一堆变成$z+1$或者$z-1$，对应着$L<x<R$和$R<x<L$两种情况。

而$R[][]$和$L[][]$是对称的，类似的求解即可。

那么最终只需要判断$L[2][n]$和$a[1]$是否相等即可判断胜负情况。

代码有点丑

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 1010
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int n,a[MAX],L[MAX][MAX],R[MAX][MAX];
int main()
{
	int T=read();
	while(T--)
	{
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
		for(int i=1;i<=n;++i)L[i][i]=R[i][i]=a[i];
		for(int len=2;len<=n;++len)
			for(int i=1,j=i+len-1;j<=n;++i,++j)
			{
				int x=a[j],l=L[i][j-1],r=R[i][j-1];
				if(x==r)L[i][j]=0;
				else if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))L[i][j]=x;
				else if(r<x&&x<l)L[i][j]=x-1;
				else L[i][j]=x+1;
				x=a[i],l=L[i+1][j],r=R[i+1][j];
				if(x==l)R[i][j]=0;
				else if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))R[i][j]=x;
				else if(r<x&&x<l)R[i][j]=x+1;
				else R[i][j]=x-1;
			}
		puts(a[1]==L[2][n]?"0":"1");
	}
}