自动搬运

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搬运于2025-08-24 21:33:00，当前版本为作者最后更新于2025-04-02 16:54:33，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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太长不看版：答案为 $8\sum\limits_{d\mid n,4\nmid d}d$，这个结论你找规律也可以得到。

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由于证明过于复杂，这里只简单提一下，不过确实想学模形式了。

设 $f(n,k)$ 表示将 $n$ 拆成 $k$ 个整数的平方和的方案数，有：

$$f(n,k+l)=\sum_{i=0}^nf(i,k)f(n-i,l)$$

构造母函数 $\theta_k(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}f(n,k)\text{e}^{2\pi\text{i}nx}$，可得 $\theta_{k+l}(x)=\theta_k(x)\theta_l(x)$，因此 $\theta_k(x)=\theta_1^n(x)$。

枚举平方数，有 $\theta_1(x)=\sum\limits_{d\in\mathbb Z}\text{e}^{2\pi\text{i}d^2x}$，由 Poisson 求和：

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\bar f(x)=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}\prime g(l) $$

其中 $\bar f(x)$ 表示 $\dfrac12\left(\lim\limits_{t\rightarrow x^+}f(t)+\lim\limits_{t\rightarrow x^-}f(t)\right)$，$\sum\prime$ 表示级数取主值，$g$ 定义如下：

$$g(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)\text{e}^{-2\pi\text{i}nx} $$

可以得到：

$$\theta_1\left(-\dfrac{1}{4x}\right)=\sqrt{-2\text{i}x}\theta(x) $$

再由 $\theta_4(x)=\theta_1^4(x)$ 可得：

$$\theta_4\left(\dfrac{x}{1+4x}\right)=(1+4x)^2\theta_4(x) $$

同时 $\theta_4(x)$ 具有周期 $1$，且其在上半平面 $\mathbb H$ 和无穷远处全纯，即 $\theta_4$ 是群 $\Gamma=\left\langle\left[\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}1&0\\4&1\end{matrix}\right]\right\rangle$ 的权为 $2$ 的模形式，记满足条件的函数的集合为 $\mathcal M_2(\Gamma)$，其为一复向量空间，其维度为 $2$，其一组基为：

$$\begin{aligned} G_{2,2}(x)&=-\dfrac{\pi^2}{3}\left(1+24\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{d\mid n,2\nmid d}d\text{e}^{2\pi\text{i}nx}\right)\\ G_{2,4}(x)&=-\pi^2\left(1+8\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{d\mid n,4\nmid d}d\text{e}^{2\pi\text{i}nx}\right) \end{aligned} $$

那么有：

$$\theta_4(x)=aG_{2,2}(x)+bG_{2,4}(x)$$

比较系数可得 $a=0,b=-\dfrac{1}{\pi^2}$，故 $\theta_4(x)=1+8\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sum\limits_{d\mid n,4\nmid d}d\text{e}^{2\pi\text{i}nx}$，故 $f(n,4)=8\sum\limits_{d\mid n,4\nmid d}d$。

上面的推导通过模形式将原问题转化成了求解复向量空间的一组基，可以拓展到 $f(n,k)$ 的情况，不过寻找这组基又是另外一回事了。