自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	Aveiro7 12

搬运于2025-08-24 23:14:48，当前版本为作者最后更新于2025-04-26 16:33:02，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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题目大意

找到所有满足 $n+20255202$ 与 $n+10244201$ 均为完全平方数的 $n$ 的个数。

解题思路

题目条件可以等价于存在整数 $a$ 和 $b$ 使得：

$$ \begin{cases} n+20255202=a^2\\ n+10244201=b^2 \end{cases}$$

在上面的两个等式中，我们可以消去 $n$，得到：

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=20255202-10244201=10011001$$

接下来，我们就要找出 10011001 的所有因数对 $(d,\frac{10011001}{d})$，其中 $d<\frac{10011001}{d}$。

第一种方法

对 10011001 分解质因数后我们可以得到满足条件的因数对:

$$(1,10011001)$$ $$(7,1430143)$$ $$(11,910091)$$ $$(13,770077)$$ $$(73,137137)$$ $$(77,130013)$$ $$(91,110011)$$ $$(137,73073)$$ $$(143,70007)$$ $$(511,19591)$$ $$(803,12467)$$ $$(949,10549)$$ $$(1001,10001)$$ $$(1507,6643)$$ $$(1781,5621)$$ $$(2849,3514)$$

后面的解不满足 $d<\frac{10011001}{d}$，所以到此为止。

又因为 $n=a^2-20255202$，且 $n$ 为正整数，所以 $a^2>20255202$，又 $\sqrt{20255202} \approx 4500.577$，解得 $a\ge 4501$。

所以我们遍历所有因数对，计算 $a$ 和 $b$，然后检查 $a\ge 4501$ 即可。最后解得有 14 个满足题意的 $n$。

第二种方法

上文提到有：

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=20255202-10244201=10011001$$

所以令 $d=a-b$，$D=a+b$，则 $d\times D=10011001$，即 $D=\frac{10011001}{d}$，并且 $d<D$，且 $d$ 和 $D$ 同奇偶（因为 $a$ 与 $b$ 均为整数）。

因为 $n=a^2-20255202$，且 $n$ 为正整数，所以 $a^2>20255202$，又 $\sqrt{20255202} \approx 4500.577$，因而 $a\ge 4501$。

又 $n=b^2-10244201$，且 $n$ 为正整数，所以 $b^2>10244201$，又 $\sqrt{10244201} \approx 3200.656$，解得 $b\ge 3201$。

又由 $a=\frac{d+D}{2}\ge 4501$，得：

$$d+D\ge 9002$$

由 $b=\frac{D-d}{2}\ge 3201$，得：

$$D-d\ge 3201$$

所以才可得：

$$\begin{cases} d+\frac{10011001}{d}\ge 9002 \\ \frac{10011001}{d} -d \ge 6402 \end{cases}$$

解得 $d\le 1299$，之后我们枚举 10011001 小于 1299 的因数个数即可，最终解得有 14 个满足题意的 $n$。