自动搬运

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来自洛谷，原作者为

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搬运于2025-08-24 23:14:19，当前版本为作者最后更新于2025-04-22 22:19:47，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

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题目大意：找到长度为 $42$ 的排列 $a$，使得 $a$ 的最小正周期为$2024$，即 $a$ 可以被分解为若干个循环，这些循环的长度的最小公倍数为 $2024$。

解题思路：首先，为了使循环长度的最小公倍数为 $2024$ 且长度和为 $42$，那么循环长度必须是 $2024$ 小于 $42$ 因数，包括：$1$，$2$，$4$，$8$，$11$，$22$，$23$,所以排列 $a$ 如果要使其长度和为 $42$，就必须由长度为 $8$，$11$ 和 $23$ 的循环组成。

想必到这里就非常简单了，不就是一个简单的排列组合问题吗？我们可以选择 $8$ 个位置来形成长度为 $8$ 的循环，有 $\binom{42}{8}$ 种选择方式。从剩下的 $34$ 个位置中选择 $11$ 个位置来形成长度为 $11$ 的循环，有 $\binom{34}{11}$ 种选择方式。最后，剩下的 $23$ 个位置自然形成长度为 $23$ 的循环，有 $\binom{23}{23}=1$ 种选择方式。

最后，因为对于每个长度为 $k$ 的循环，有 $(k-1)!$ 种不同的排列方式。因此，长度为 $8$ 的循环有 $7!$ 种排列方式，长度为 $11$ 的循环有 $10!$ 种排列方式，长度为 $23$ 的循环有 $22!$ 种排列方式。

综上所述，答案即为：

$$\left(\binom{42}{8}\times\binom{34}{11}\times 7!\times 10!\times 22!\right)\bmod(10^9+7) $$

自己口算一下提交即可。