自动搬运

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搬运于2025-08-24 23:12:20，当前版本为作者最后更新于2025-04-05 14:22:04，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

---

$\gdef \d{\mathrm{d}}$

考虑把这个积分拆开，也就是：

$$\int _ 0 ^ 1 \frac{P(x)}{x ^ 2 + 1} \d x = \sum _ {k = 0} ^ {n} a _ k \int _ 0 ^ 1 \frac{x ^ k}{x ^ 2 + 1} \d x $$

于是我们只需要考虑右边的那个积分就可以了。

令：

$$I _ k = \int _ 0 ^ 1 \frac{x ^ k}{x ^ 2 + 1} \d x$$

首先，我们可以发现：

$$I _ 0 = \int _ 0 ^ 1 \frac{1}{x ^ 2 + 1} \d x = [\arctan x] _ 0 ^ 1 = \frac{\pi}{4} $$$$I _ 1 = \int _ 0 ^ 1 \frac{x}{x ^ 2 + 1} \d x = \left[ \frac{1}{2} \ln (x ^ 2 + 1) \right] _ 0 ^ 1 = \frac{\ln 2}{2} $$

接着，对于 $k \ge 2$，我们有：

$$\begin{aligned} I _ k &= \int _ 0 ^ 1 \frac{x ^ k}{x ^ 2 + 1} \d x \\ &= \int _ 0 ^ 1 \frac{x ^ {k - 2} [(x ^ 2 + 1) - 1]}{x ^ 2 + 1} \d x \\ &= \int _ 0 ^ 1 x ^ {k - 2} \d x - \int _ 0 ^ 1 \frac{x ^ {k - 2}}{x ^ 2 + 1} \d x \\ &= \left[ \frac{x ^ {k - 1}}{k - 1} \right] _ 0 ^ 1 - I _ {k - 2} \\ &= \frac{1}{k - 1} - I _ {k - 2} \end{aligned} $$

于是照这个算就行了，时间复杂度 $O(n)$。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<numbers>
#include<iomanip>

typedef long double ld;

int n; ld ans = 0, I[3] = {std::numbers::pi / 4, std::log(2) / 2};

int main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
	
	int n; std::cin >> n;
	for(int k = 0; k <= n; ++k) {
		int a; std::cin >> a;
		if(k > 1) I[k % 3] = 1. / (k - 1) - I[((k - 2) + 3) % 3];
		ans += (ld)a * I[k % 3];
	}
	
	std::cout << std::fixed << std::setprecision(10) << ans;
	
	return 0;
}