自动搬运

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	枫原万叶 我无法追寻每一只知更鸟坠落的轨迹,我也不是经常会想起你

搬运于2025-08-24 23:11:57，当前版本为作者最后更新于2025-06-19 13:51:10，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

题目要求很简单，计算所有可能的 $a_n \times b_n$ 值的和（相同值只算一次），其中：$a_n$ 是 $2^n$ 的最高非零位数字，$b_n$ 是 $5^n$ 的最高非零位数字。

通过分析，发现 $a_n \times b_n$ 的值只可能取 5, 6, 7, 8, 9, 10，且每个值至少被某个正整数 $n$ 取到。举例说明：

对于 5：例如 $n=9$ 时，$2^9=512$（最高位 5），$5^9=1953125$（最高位 1），乘积为 $5 \times 1 = 5$。

对于 6：例如 $n=4$ 时，$2^4=16$（最高位 1），$5^4=625$（最高位 6），乘积为 $1 \times 6 = 6$。

对于 7：例如 $n=7$ 时，$2^7=128$（最高位 1），$5^7=78125$（最高位 7），乘积为 $1 \times 7 = 7$。

对于 8：例如 $n=2$ 时，$2^2=4$（最高位 4），$5^2=25$（最高位 2），乘积为 $4 \times 2 = 8$。

对于 9：例如 $n=5$ 时，$2^5=32$（最高位 3），$5^5=3125$（最高位 3），乘积为 $3 \times 3 = 9$。

对于 10：例如 $n=1$ 时，$2^1=2$（最高位 2），$5^1=5$（最高位 5），乘积为 $2 \times 5 = 10$。

以上的值覆盖了所有可能出现的乘积，且没有其他值（如小于 5 或大于 10 的值不会出现）。

接下来设 $\alpha = \log_{10} 2$（必定为无理数），则：

$a_n = \lfloor 10^{\{n \alpha\}} \rfloor$，

$b_n = \lfloor 10^{1 - \{n \alpha\}} \rfloor$， 其中 $\{ \cdot \}$ 表示小数部分。

因此，$c_n = a_n \times b_n = \lfloor 10^x \rfloor \times \lfloor 10^{1-x} \rfloor$，$x = \{n \alpha\} \in [0,1)$。

由于 $\alpha$ 无理，序列 $\{n \alpha\}$ 在 $[0,1)$ 上稠密。通过分析函数 $c(x)$ 的分段性质（关键点为 $x = \log_{10} k$ 和 $x = 1 - \log_{10} m$，$k,m=2,\dots,9$），可得 $c(x)$ 的值域为 $\{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$。 所有不同值的和为：

$5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45$

综上所述，所有 $a_n \times b_n$ 值的和为 45。（代码总会写了吧）

$Q.E.D.$