自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	Rainbow_qwq **

搬运于2025-08-24 23:05:07，当前版本为作者最后更新于2024-10-15 15:21:12，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

假设有 $2n$ 位，考虑把每个数分成前 $n$ 位和后 $n$ 位。

先构造一个 $2^n$ 元有乘法、加法的有限域，这个可以通过找一个不可约多项式构造，见 P3923。

然后对于 $x=[0,2^n-1]$，前 $n$ 位填 $x$，后 $n$ 位填 $x^3$ 在有限域运算下的值，构造出一个 $2n$ 位的数。

这样如果两个 pair $(a,b),(c,d)$ 的 xor 相等，就需要满足 $a+b=c+d$，$a^3+b^3=c^3+d^3$。

由于在该 $2^n$ 有限域下加法等同与 xor，可以推出 $a^3+b^3=c^3+d^3 \to ab(a+b) = cd(c+d) \to ab=cd$。

由于同时有 $ab=cd$ 和 $a+b=c+d$，则 $\{a,b\}$ 和 $\{c,d\}$ 都是方程 $x^2-(a+b)x+ab$ 的解，而这个方程只有至多两个解，也就说明 $\{a,b\} = \{c,d\}$。

那么这样构造就不会有两个不同的 pair 的 xor 相同，并且构造了 $2^n$ 个数。

// what is matter? never mind.
#include<bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
//#define int long long
using namespace std;

int mod;

#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mkp make_pair
typedef pair<int,int>pii;
typedef vector<int>vi;

#define maxn 55
#define inf 0x3f3f3f3f
#define poly vector<modint>

int n,p,k;

poly operator +(poly a,poly b){
	int n=max(a.size(),b.size());a.resize(n),b.resize(n);
	For(i,0,n-1)a[i]+=b[i];return a;
}
poly operator -(poly a,poly b){
	int n=max(a.size(),b.size());a.resize(n),b.resize(n);
	For(i,0,n-1)a[i]-=b[i];return a;
}
poly operator *(poly a,modint b){
	int n=a.size();
	For(i,0,n-1)a[i]*=b;return a;
} 
poly operator *(poly a,poly b){
	if(!a.size()||!b.size())return {};
	poly c(a.size()+b.size()-1,0);
	for(int i=0;i<a.size();++i)
		for(int j=0;j<b.size();++j)
			c[i+j]+=a[i]*b[j];
	return c;
}

poly operator %(poly a,poly b){
	while(b.back().x==0)b.pop_back();
	while(1){
		while(a.size()&&a.back().x==0)a.pop_back();
		if(a.size()<b.size())return a;
		int t=a.size()-b.size();
		modint w=a.back()/b.back();
		For(i,0,(int)b.size()-1)a[i+t]-=b[i]*w;
		assert(a.back().x==0);
	}
}

void init(poly &a,int x){
	if(a.size()<k)a.resize(k);
	For(i,0,k-1)a[i]=x%p,x/=p;
}
int get(poly a){
	if(a.size()<k)a.resize(k);
	int res=0;
	Rep(i,k-1,0)res=res*p+a[i].x;
	return res;
}

bool chk(poly a){
	poly b;
	For(i,p,n-1){
		init(b,i);
		poly c=a%b;
		if(!c.size())return 0;
	}
	return 1;
}

poly qwq(){
	poly a(k+1); a[k]=1;
	For(i,1,n-1){
		init(a,i);
		if(chk(a))return a;
	}
	assert(0);
}

int pri[maxn],pc[maxn],tot;
void fj(int n){
	For(i,2,n)
		if(n%i==0){
			pri[++tot]=i;
			while(n%i==0)n/=i,++pc[tot];
		}
}

signed main()
{
	n=1<<read();
	k=0;
	while((1<<(k*2))<n)k++;
	n=(1<<k);
	mod=p=2;
	poly a;
	a=qwq();//puts("QWQWQ");
//	for(auto x:a)cout<<x.x<<' ';puts(" A");
	vi o;
	int s=(1<<k);
	For(i,0,(1<<k)-1){
		poly x; init(x,i);
		poly y=x*x%a*x%a;
		int out=get(y);
		out|=(i<<k);
		o.pb(out);
	}
	cout<<o.size()<<"\n";
	for(int x:o)cout<<x<<" \n"[x==o.back()];
	return 0;
}
// (1 0 1) %