自动搬运

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来自洛谷，原作者为

	yitian_ 高估 T3 以至于打个深搜就睡觉去了/kel

搬运于2025-08-24 22:57:50，当前版本为作者最后更新于2024-05-10 13:12:03，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

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以下是正文

题目分析

1. 试题 A：握手问题

   在一次 $50$ 个人的会议中大家进行了握手交流，其中有 $7$ 个没有相互握手，我们需要求出这些人之间一共进行了多少次握手。

2. 试题 B：小球反弹

   有一个小球在一个长方形内部左上角顶点开始运动，我们需要求出从小球出发到其第一次回到左上角顶点这段时间里，小球运动的路程为多少单位长度。

思路

1. 试题 A：握手问题

   共 $50$ 个人，其中 $7$ 个人没有互相握手，所以其他的 $43$ 人都是与 $42$ 个人握了手。

   因为 $A$ 和 $B$ 握手的同时也意味着 $B$ 和 $A$ 握手了，算作一次握手。所以要算这 $43$ 人的握手次数，相当于从 $43$ 人中选出 $2$ 人进行组合。即 $C_{43}^2$。

   需要注意的是，那 $7$ 人不是没有跟任何人握手，而是 $7$ 人之间没有握手，每个人都与其他的 $43$ 人握了手。所以这 $7$ 人总共的握手次数为 $7 \times 43 = 301$ 次。

   所以答案为 $C_{43}^2 + 301 = \dfrac{43 \times 42}{2 \times 1} + 301 = 1204$ 次。

2. 试题 B：小球反弹

   长方形的长 $x$ 为 $343720$，宽 $y$ 为 $233333$。小球分解到长宽两个方向上的速率之比为 $dx : dy = 15 : 17$。

   因为水平方向来回的路程为 $2x$，竖直方向为 $2y$。

   所以小球在左上角时，水平走了 $2x \times k_1$ 个单位长度，竖直走了 $2y \times k_2$ 个单位长度。假设小球运动回左上角的时间为 $a$。

   由题得 $a \times dx$ 和 $0$ 除以 $2x$ 的余数相同，$a \times dy$ 和 $0$ 除以 $2y$ 的余数相同。

   也就是说 $\begin{cases} a \times dx = k_1 \times 2x\\ a \times dy = k_2 \times 2y \end{cases}$

   并且 $k_1,k_2$ 都是整数。

   $\therefore a = \dfrac{k_1 \times 2x}{dx} = \dfrac{k_2 \times 2y}{dy}$

   $\therefore \dfrac{k_1 \times 2x}{dx} \times dx \times dy = \dfrac{k_2 \times 2y}{dy} \times dx \times dy $

   $\therefore k_1 \times 2x \times dy = k_2 \times 2y \times dx$

   $\therefore\dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{2y \times dx}{2x \times dy}$

   $\therefore\dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{y \times dx}{x \times dy}$

   $\therefore\dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{15y}{17x}$

   当 $k_1,k_2$ 最小时 $2x \times k_1$ 和 $2y \times k_2$ 分别为出发后第一次回到左上角时水平方向和竖直方向走的路程。

   此时求出 $15y$ 和 $17x$ 的最大公因数 $b$ 为 $3305$。然后 $15y$ 和 $17x$ 分别除以 $b$，就能得到 $k_1 = \dfrac{15y}{b}=\dfrac{15y}{3305}=1059,k_2=\dfrac{17x}{b}=\dfrac{17x}{3305}=1768$。

   把 $k_1 = 1059,k_2=1768$ 代入 $a =\dfrac{k_1 \times 2x}{dx} = \dfrac{k_2 \times 2y}{dy}$，得出 $a\times dx=7.27998960 \times 10^8,a \times dy = 8.25065488 \times 10^8$。

   那么就能算出总路程为 $\sqrt{(a \times dx)^2 + (a \times dy)^2}=1.10032519977 \times 10^9$。

C++ 代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() 
{
    string ans [] = 
    {
        "1204",
        "1100325199.77", 
    };
    char T;
    cin >> T;
    cout << ans[T - 'A'] << endl;
    return 0;
}