自动搬运

查看原文

来自洛谷，原作者为

	chen_zhe Aya 敲可爱的~

搬运于2025-08-24 21:18:03，当前版本为作者最后更新于2025-03-10 17:09:22，作者可能在搬运后再次修改，您可在原文处查看最新版

自动搬运只会搬运当前题目点赞数最高的题解，您可前往洛谷题解查看更多

以下是正文

---

欢迎报名洛谷网校，期待和大家一起进步！

本题考察数学。

首先判断无解的情况，当 $n=1$ 的时候，$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{n}$ 无解。

对于其他情况，看到方程 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{n}$ 这个较为复杂的方程，我们肯定会想着把方程变得简单。最简单的情况下设 $x=n$，则方程转化为 $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{n}$。

通分可得：$\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{1}{n}$，即 $n(y+z)=yz$。

移项可得：$ny+nz-yz=0$，为便于因式分解，两边同时加上 $n^2$，为 $ny+nz-yz+n^2=n^2$。

从而得到：

$$(y-n)(z-n)=n^2$$

由于 $n^2=n^2\times 1$，因此令 $y-n=1$，$z-n=n^2$，即 $y=n+1$，$z=n^2+n$ 符合题意。从而我们有以下这一组方程恒定成立：

$$\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{2}{n} $$

此时：

$$\begin{cases}x=n \\ y=n+1 \\ z= n(n+1)\end{cases}$$

如果你不会因式分解，由于答案的形式是很简洁的，你也可以通过尝试配凑得到这一组答案。